Неопределенный и определенный интегралы

1.

Неопределенный и определенный интегралы, их
свойства. Несобственные интегралы с
бесконечными пределами интегрирования
Повторение материала 1-го курса
1) Первообразная

2.

Первообразная
Функция F(x) называется
первообразной для функции f(x) на
данном промежутке, если для любого x
из этого промежутка F’(x) = f(x).

3.

Основное свойство первообразных
Если F(x) – первообразная функции f(x), то и
функция F(x)+C, где C – произвольная
постоянная, также является первообразной
функции f(x).
Геометрическая интерпретация
Графики всех
y
x
первообразных данной
функции f(x) получаются
из графика какой-либо
одной первообразной
параллельными
переносами вдоль оси y.

4.

5.

6.

2) Неопределенный интеграл
Совокупность всех первообразных данной
функции f(x) называется ее неопределенным
интегралом и обозначается f ( x)dx :
f ( x)dx = F ( x) + C ,
где C – произвольная постоянная.

7.

Таблица неопределённых интегралов

8.

Правила интегрирования
cf ( x)dx = c f ( x)dx, c = const
( f ( x) g ( x))dx = f ( x)dx g ( x)dx
1
f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C , a 0

9.

10.

11.

12.

3) Определенный интеграл
В декартовой прямоугольной
системе координат XOY фигура,
ограниченная осью OX, прямыми
x=a, x=b (a<b) и графиком
непрерывной неотрицательной
на отрезке [a;b] функции y=f(x),
называется криволинейной
трапецией

13.

Связь между определенным
интегралом и первообразной
(Формула Ньютона - Лейбница)
Для непрерывной функции
b
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)
|
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
b
a
a
где F(x) – первообразная функции f(x).

14.

Основные свойства определенного
интеграла
a
f
(
x
)
dx
=
0
a
b
dx = b − a
a
b
a
a
b
f
(
x
)
dx
=
−
f
(
x
)
dx

15.

Основные свойства определенного
интеграла
b
c
b
a
a
c
f
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
dx
+
f
(
x
)
dx
b
b
a
a
cf ( x)dx = c f ( x)dx, c − const
b
b
b
a
a
a
(
f
(
x
)
g
(
x
))
dx
=
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx

16.

17.

Несобственные интегралы с
бесконечными пределами
интегрирования

18.

19.

20.

21.

Пример:
1
1
Для х2 первообразной является х
1
стремится к нулю, т.к. 1 разделить на очень большое число получится