Обратная матрица. Ранг матрицы

1.

§3. Обратная матрица. Ранг
матрицы
п.1. Обратная матрица
Квадратная матрица называется
(не)вырожденной, если ее определитель
(не) равен нулю.
1называется обратной к
Матрица A
матрице A, если выполняются равенства:
1
1
A A A A
E.

2.

Нахождение обратной матрицы
A11
1 A21
1
A
det A
A
n1
A1n
A22 A2 n
An 2 Ann
det A ─ определитель матрицы A
Aij ─ алгебраическое дополнение
A12
T

3.

Доказательство. Рассмотрим матрицу
A11
*
A A21
A
31
T
A13 A11 A21 A31
A22 A23 A12 A22 A32 .
A32 A33 A13 A23 A33
Найдем произведение
a11 a12 a13 A11 A21 A31
*
A A a21 a22 a23 A12 A22 A32
a
A
a
a
A
A
33 13
23
33
31 32
A12
a11 A11 a12 A12 a13 A13 a11 A21 a12 A22 a13 A23 a11 A31 a12 A32 a13 A33
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 A21 a22 A22 a23 A23 a21 A31 a22 A32 a23 A33
a A a A a A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
31 21
32 22
33 23
31 31
32 32
33 33
31 11 32 12 33 13

4.

Применяем теоремы Лапласа и
аннулирования
0
0
det A
1 0 0
0
det A
0 det A 0 1 0 det A E.
0
0 0 1
0
det
A
*
Значит,
A A det A E
или
*
A
A
E.
det A
Аналогично,
A*
A E.
det A
*
A
1
По определению
A
.
det A

5.

1 2 1
A 0 3 1
4 0 2
Пример.
1 2
1
A 0 3 1 2 0
матрица A невырождена,
1
существует
1
3 2 1 0 6
0 2
A21 4
A31 1
A22 2
A32 1
A23 8
A33 3
4 0 2
A
1 1 3
A11 ( 1)
1 2 0
A12 ( 1)
A13 12
1
( 0 2 1 4) 4
4 2

6.

A11
1 A21
1
A
det A
A
n1
T
A1n
A2 n
Ann
A12
A22
An 2
4 12
6
1 1
1
A 4 2
6
2
1
1
3
6 4 1 3 2 0,5
1
4 2 1 2 1 0,5
2
6
12
6
3
3
1
,
5
T

7.

Свойства обратной матрицы
1
1) det( A )
.
det A
1
2) ( AB ) 1 B 1 A 1 .
1 T
T 1
3) ( A ) ( A ) .

8.

п.2. Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу
a11
a21
Am n
a
m1
a12
a22
am 2
a1n
a2 n
.
amn
Пусть k min( m , n ).
Выделим в матрице k строк и k столбцов.
Из элементов, стоящих на пересечении,
составим определитель порядка k.
Составленные таким образом определители
называются минорами матрицы.

9.

Пример.
1
3
A
1
2
1
5
2 1
4 1
.
4 2 3 5
2 3
0 0
2
0
Составим минор 3-го порядка.
2 1 5
2
1
1.
2
3
0

10.

Рангом матрицы называется наибольший
порядок отличного от нуля минора этой
матрицы.
Обозначается r ( A), rang A.
Замечание 2. r ( Am n ) min( m, n ).
Пример.
1 2 1
A 0 3 1
1 5 3
1 2 1
A 0 3 1 0
1 5 3
M 11
1 2
0 3
r ( A) 2
3 0

11.

Свойства ранга матрицы
1) Ранг матрицы не меняется при
транспонировании.
2) Ранг матрицы не меняется при умножении
строки (столбца) на число, не равное нулю.
3) Ранг матрицы не меняется при
вычеркивании нулевой строки (столбца).
4) Ранг матрицы не меняется при сложении
элементов какой-либо строки (столбца) с
соответствующими элементами другой строки
(столбца), умноженными на некоторое число.

12.

Пример. Найти ранг матрицы
1 2 1 3
A 2 1 1 0 .
4 3 1 6
Решение.
1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3
2 1 1 0 ~ 0 5 3 6 ~ 0 5 3 6 ~
4 3 1 6 0 5 3 6 0 0
0
0
1 2 1 3
.
~
0 5 3 6
Значит,
r ( A) 2 .