Числовые ряды

1.

2.

План
1.Числовые ряды.
Определение.
2.Необходимый признак
сходимости.
3.Достаточные признаки
сходимости рядов с
положительными членами.
4.Знакопеременные ряды.
5.Знакочередующиеся ряды.
6.Признак Лейбница.

3.

Сумма ряда или ряд, — математическое
выражение, позволяющее записать бесконечное
количество слагаемых и подразумевающее
значение их суммы, которое можно получить в
предельном смысле. Если значение суммы (в
предельном смысле) существует, то говорят, что
ряд сходится. В противном случае говорят, что
он расходится

4.

Пусть дана бесконечная последовательность чисел:
а1 , а2 , а3 ,... ап ,...
(1)
Выражение:
а а а а ... а ...
п
1
2
3
п
(2)
п 1
называется числовым рядом, а числа - членами ряда.
Суммы S1 a1; S2 a1 a2 ; S3 a1 а2 а3 ,...; S п a1 a2 ап ,..
называются частичными суммами ряда. (2)

5.

Если последовательность частичных сумм имеет
конечный предел
S lim S n
n
(3)
то этот предел называется суммой ряда. В этом
случае ряд называется сходящимся.Если же
предел (3) не существует или равен ∞ то ряд
расходится и суммы не имеет.

6.

Необходимый признак сходимости ряда
● Если ряд сходится, то его общий член а п стремится
к нулю при неограниченном возрастании номера n :
lim an 0
n
(4)
При нарушения условия (4) ряд заведомо расходится.
Заметим, что из сходимости ряда (2) следует сходимость
его остатка rn an 1 an 2 ... и, наоборот, из
сходимости остатка ряда следует сходимость
исходного ряда. Иначе говоря , если отбросить конечное
число начальных членов ряда, то это не отразится
на сходимости (расходимости) ряда.

7.

Достаточные признаки сходимости рядов с
положительными членами.
1) Признак сравнения рядов
a1 a2 ... an ...
b1 b2 ... bn ...
● Если, начиная с некоторого номера n ϵ N,
(5)
(6)
выполняется
неравенство an bn , то из сходимости ряда (6) следует
сходимость ряда (5) и из расходимости ряда (5) следует
расходимость ряда (6).

8.

2) Признак Даламбера.
an 1
l то при ℓ<1
● Если существует предел lim
n a
n
ряд (5) сходится , а при ℓ>1 расходится. При ℓ=1 вопрос
о сходимости ряда остается переменным.
3) Признак Коши
● Если существует предел
lim n an l an 0 то
n
при
ℓ <1 ряд (5) сходится, а при ℓ>1 расходится.
Если
ℓ=1, то вопрос о сходимости ряда остается
нерешенным.

9.

Примеры
1. Написать пять первых членов ряда по данному общему
1
члену an
n(n 1)
1
1
1
1
1
1
....
n 1 n(n 1)
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
(*)
2. Найти для ряда (*) частичную сумму первых n членов( )S n
1
запишем иначе:
Общий член ряда an
n(n 1)
1
1
1
n(n 1) n n 1

10.

Частичная сумма ряда
1
1 1 1 1 1
1 1
S n 1 ...
1
n 1
2 2 3 3 4
n n 1
1
S lim S n lim 1
1
n
n
n 1
Отсюда следует, что ряд (*) сходится и его сумма S=1
3. Написать формулу общего члена для ряда:
2 4 6
8
...
5 8 11 14
Числители членов – четные числа вида 2n,
а знаменатели –числа, которые получаются
формуле 3n+2. (n=1,2,3,…)
по

11.

Учитывая, что знаки членов ряда чередуются, получим
an 1
n 1
2n
3n 2
4. Гармонический ряд
1
1 1
1
1 ... ... - расходиться!
n 1 n
2 3
n
если an
1
С n
,то расходится!
2n 1 3 5 7
2n 1
...
...
2 7 12
5n 3
n 1 5n 3
2n 1 2
lim
0 => ряд расходится
n 5n 3
5

12.

5. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда:
"
n
2
an
n!
2
n 1 n!
2 n 1
an 1
n 1 !
2
an 1
n!
2
lim
lim
n lim
0
n a
n n 1 ! 2
n n 1
n
n 1
ℓ=0<1 => ряд сходится.
6. Исследоватьnпо признаку Коши сходимость ряда:
n
n 1 2 n 1
n
n
n
1
lim
lim an lim n
1
n
n
n 2
2
2
n 1
n 1
n
=> сходится

13.

Знакопеременные ряды
Определение: Если члены числового ряда с
разными знаками, то такой ряд будет называться
знакопеременным.
● Знакопеременный ряд a1 a2 a3 an (1)
называется абсолютно сходящимся, если сходится
ряд, составленный из абсолютных
величин его членова1 а2 а3 ... аn ...
Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
(2)

14.

● Если же ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится,
то ряд (1) называется условно сходящимся.
Признаки абсолютной сходимости
знакопеременного ряда те же, что и сходимости
с положительными членами.

15.

Знакочередующиеся ряды
a1 a 2 a3 a 4 ... ( 1)
Ряд
n 1
a n ...
(3)
a1 a 2 a3 ... ( 1) a n ...
(3`)
n
где
n>0 (n=1,2,3,…) называется
знакочередующимся. Этот
ряд является частным
случаем знакопеременного
ряда.

16.

Признак Лейбница
Если члены
знакочередующегося ряда (3)
a1 a2 a3 ... an ...
убывают по абсолютной
величине
и lim a n 0 , то такой ряд
n
сходится и сумма
a
его 0<S< 1
# Исследовать сходимость
знакопеременного ряда.
1 1 1
1
n 1
1 ... ( 1)
...
3 5 7
2n 1

17.

Члены данного ряда убывают по абсолютной
величине, знаки чередуются и предел
1
lim
0 =>ряд сходится
n 2n 1
1 1 1
1
Составлен ряд 1 ...
(а)
3 5 7
2n 1
и сравним его с расходящимся рядом
1
1
1
1
(б)
...
2
4
6
2n
Каждый
член
ряда (а)
больше
(т.к. расходится
гармонический
ряд).
соответственного члена
ряда (б), следовательно, ряд
(а) расходится, потому
данный ряд сходится

18.

Итак: 1) Сходятся условно ряды с общим членом
1
n 1
или 1
n
an 1
an 1
1 n
4n 1
2) Абсолютно сходятся ряды с общим членом
n
( 1) 1
an n ; n
a
a
- сходится
3) Расходятся ряды с общим членом
n
n
a ( 1) n
1 2 3 4 ... ( 1) n
n

19.

Признак Лейбница не работает.
1+1+1+1+…
S n n - ряд расходится, т.к.
1
n2
- сходится.
n 1
( 1)
5)
n
- сходится условно.
lim s n
n