Числовые ряды

1. Числовые ряды

2. Определение числового ряда

Рассмотрим некоторую числовую
последовательность u1, u2 , u3 ,..., u n ,...
Составим из членов этой
последовательности бесконечную сумму
u1 u2 u3 ... un ...
Определение. Выражение (1)
.
u1 u2 ... un ... un
n 1
называется числовым рядом,
член ряда.
u n - общий

3. Понятие сходящегося ряда

Опр. Конечные суммы S1 u1 , S2 u1 u2
S3 u1 u2 u3 ,..., Sn u1 u2 ... un ...
называются частичными суммами ряда (1).
Опр. Если существует конечный lim S n S ,
n
то числовой ряд называется сходящимся, а
число S - суммой ряда. Если lim S n равен
n
бесконечности или вообще не существует, то
ряд расходится.

4. Пример сходящегося ряда

1
Показать, что ряд
n 1 n n 1
найти его сумму.
Общий член ряда
un
сходится и
1
1
1
n n 1 n n 1
.
1 1
1
1 1
Тогда u1 1 , u2 , u3 ,…
2 3
3 4
2
1 1 1 1 1
Sn u1 u2 u3 ... un 1 ...
2 2 3 3 4
1
1
1
1
1
, lim 1
1
n n 1
n 1 n n 1

5. Свойства сходящихся рядов

1) Сходящиеся ряды можно почленно
складывать, т.е.
u n v n (u n v n .)
n 1
n 1
n 1
2) Постоянный множитель можно
вынести за знак ряда, т. е.
cu
n 1
n
c u n .
n 1

6. Свойства сходящихся рядов

От сходящегося ряда можно отбросить
конечное число членов или наоборот
прибавить конечное число слагаемых и
при этом сходимость ряда не
изменится.

7. Примеры Геометрический ряд

Известно, что геометрическая
прогрессия со знаменателем, меньшим
единицы, a n a1 a 2 .. a n ...
n 1
сходится

8. Гармонический ряд

1
Ряд , называется гармоническим.
n 1 n
Известно, что гармонический ряд расходится.

9. Признаки сходимости ряда

Необходимое условие сходимости ряда.
Если ряд
Если же
un
n 1
сходится, то
lim un 0.
n
lim un 0, то ряд расходится.
n

10. Пример расходящегося ряда

Пример 1. Ряд
как
n
n 1 5n 1
n
1
lim un lim
0
n
n 5n 1
5
расходится, так
.

11. Знакоположительные ряды

12. Признак сравнения.

Пусть даны ряды u n и vn .
n 1
n 1
Если ряд с большими членами
сходится, то сходится и ряд с меньшими
членами. Если же ряд с меньшими
членами расходится, то расходится и
ряд с большими членами.

13. Признак сравнения в предельной форме

Если существует конечный и
un
отличный от нуля lim
A
n vn
n 1
n 1
ряды u n и vn сходятся или
расходятся одновременно.
, то

14. Примеры

В качестве рядов для сравнения берут
гармонический ряд 1 , который
n 1
n
1
n2
1
или p ,о
n 1 n
расходится, и ряд
n 1
которых известно, что первый сходится,
а второй при p 1сходится, а при p 1
расходится.

15. Примеры

Исследовать на сходимость ряды
1
а) 2
и б) 1
.
n 1
n 4
n 1
n
Найдем предел отношения
членов
1
данного ряда и ряда 2 ,с которым
n 1 n
сравниваем
данный
ряд.
1 n2
lim 2
1. Ряд сходится.
n
( n 1) 1

16. Примеры

1
n
Ряд
сравниваем с
n 1
1
гармоническим рядом n .
n 1
1
1
n n
Так как
, то данный ряд
расходится вместе с гармоническим
рядом.

17. Признак Даламбера

un 1
Если существует конечный lim
n un
то
1)при 1 ряд u n , где un 0 ,
n 1
сходится,
2)при 1 ряд расходится,
3)при 1 признак ответа не дает.

18. Примеры

Исследовать на сходимость ряд
2n
n
e
n 1
2( n 1)
2n
Так как un e n , то un 1 e n 1
и
un 1
2( n 1)e n
n 1 1
n 1 1
lim
lim n 1
lim
lim
n u
n
n en
e 2n
e n n
e
n
Так как
1
1,
e
то данный ряд сходится.
.

19. Признак Коши

Если существует конечный lim
n
n
un e,
то
1) при e 1 ряд un , где un 0 ,
n 1
сходится,
2)при e 1 ряд расходится,
3)при e 1 признак ответа не дает.

20. Примеры

3n 1
n 2
n 1
n
Ряд
исследуем с помощью
признака Коши.
n
Вычислим
n
3
n
1
3
n
1
un n
n 2
n 2
3n 1
lim un lim
3 1
n
n n 2
Тогда
и ряд согласно признаку Коши
расходится.
n
.

21. Интегральный признак

Пусть члены ряда un
n 1
положительны и un un 1 при n N .
Пусть функция f (x) при x n имеет
значения f n un , положительна,
непрерывна и монотонно убывает при
x 1 .Тогда числовой ряд сходится или
расходится вместе
с
несобственным
интегралом
f x dx
1

22. Обобщенный гармонический ряд

1 .
Исследуем ряд
np
1 n 1
Функция f ( x) p
монотонно убывает.
x
Несобственный интеграл
p 1
dx
x
1
1
p
( p 1 1)
1 x p 1 x dx p 1 1 p lim
x x
1
=
1
, p 1
p 1
,
p 1
.Ряд расходится при p<1
и сходится при p>1 .

23. Пример

Исследовать на сходимость ряд
1
. Члены ряда un
n 2 n ln n
1
n ln n
положительны и монотонно убывают.
1
Функция f ( x )
, очевидно, также
x ln x
положительна при x 2, непрерывна и
монотонно убывает.

24. Продолжение

2
b
b
dx
dx
d (ln x )
lim
lim
lim 2 ln x
b
x ln x b 2 x ln x b 0 ln x
lim 2 ln b 2 ln 2 .
b
Несобственный интеграл, а вместе с
ним и числовой ряд расходятся.
b
2

25. Знакопеременные ряды

26. Признак Лейбница

Пусть
члены знакочередующегося ряда
n 1
n 1
u
u
u
u
...
(
1
)
u n ...
(
1
)
u
1
2
3
4
n
n 1
удовлетворяют условиям:
1) u1 u 2 u3 ... u n ...
lim un 0.
и 2) n
Тогда знакочередующийся ряд
сходится, причём его сумма S не
превосходит его первого члена, т.е. .S u1

27. Примеры

Исследовать
на сходимость ряды:
n
1
n 1
n 1
1) ( 1) n 1, 2) ( 1) n 2 .
n 1
n 1
1) члены знакочередующегося ряда
1
1
1
1
u1 , u2 , u3 ,.., un 1
,..
2
3
4
n 1
монотонно убывают и
1
lim un lim
0
n
n n 1
.
Согласно признаку Лейбница ряд
сходится.

28. Примеры

n
n 2
2) общий член ряда ( 1)
n 1
не стремится к нулю, так как
n
lim
1
n n 2
n 1
Следовательно, ряд расходится
согласно необходимому признаку.

29. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда

Если сходится ряд
n 1
знакопеременный ряд
сходится.
un , то
un
n 1
также

30. Абсолютно сходящийся ряд

Определение.
Если сходится ряд un , то
n 1
знакопеременный ряд называется
абсолютно сходящимся.

31. Условно сходящийся ряд

Определение.
Если сходится ряд u n , а
n 1
ряд un расходится, то
n 1
знакопеременный ряд u n
n 1
называется условно сходящимся.

32. Пример

1
n2
Ряд ( 1)
абсолютно сходится, т.к.
n 1
1
ряд из модулей его членов 2
1
n 1 n
сходится. Ряд ( 1) n 1 сходится
условно, т.к. он согласно признаку
Лейбница сходится, но
ряд из модулей
1
его членов, т.е. ряд
n 1 n 1
расходится вместе с гармоническим
рядом .
n 1
n 1
n 1