Числовые ряды

1.

Числовые ряды
Достаточные признаки сходимости рядов с
положительными членами (продолжение)
Знакопеременные ряды
Знакочередующиеся ряды
Свойства абсолютно сходящихся рядов
Оценка остатка ряда

2.

Достаточные признаки сходимости
рядов с положительными членами
Предельный признак сравнения
Пусть даны два ряда с положительными членами:
U
n 1
n
и
V
n 1
n
Un
nlim
Vn
0;
Для этих рядов справедливо:
Ряды Un и Vn одновременно
сходятся или одновременно
расходятся.

3.

Достаточные признаки сходимости
рядов с положительными членами
Пример
U n sin
Исследовать на сходимость ряд:
1
n
Выберем для сравнения ряд:
1
sin
n
n 1
1
Vn
n
Ряд Vn - обобщенный гармонический ряд вида
1
k
n
n 1
расходится, так как k = 1.
1
sin
1
n
lim
t;
n
1
n
n
sin t
n t 0 lim
1
t 0 t
ряд Un – также расходится.

4.

Достаточные признаки сходимости
рядов с положительными членами
Pm n
n 1 Ql n
Ряды вида
Вопрос о сходимости рядов такого вида, где Pm (n) – многочлен
степени m, Ql (n) – многочлен степени l, полностью исчерпывается
сравнением с рядом
1
k
n
n 1
где k = l – m.
Удобнее при этом использовать признак сравнения в предельной
форме.

5.

Достаточные признаки сходимости
рядов с положительными членами
2n 1
Пример Исследовать на сходимость ряд: 3
n 1 n 5
2n 1
Un 3
l 3; m 1 k 3 1 2
n 5
1
Выберем для сравнения ряд: Vn
n2
1
Ряд Vn - обобщенный гармонический ряд вида
n
n 1
k
сходится, так как k = 2 >1.
2n 1
1
2
3
2
3
2
n
n
n 2
lim n 5 lim
lim
n
1
n n 3 5
n
5
1 2
2
n
n
ряд Un – также сходится.

6.

Знакопеременные ряды
Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены
называются знакопеременными
Пусть дан знакопеременный ряд:
U
n 1
Обозначим:
n
(1)
S p1 p2 p3 ... pn ...
(2)
– ряд составлен из положительных членов ряда (1) с сохранением
порядка их следования.
Обозначим:
S q1 q 2 q 3 ... q n ...
(3)
– ряд составлен из модулей отрицательных членов ряда (1).
Рассмотрим также ряд
U1 U2 U3 ... Un ... (4)
– ряд составлен из модулей всех членов ряда (1).

7.

Знакопеременные ряды
Теорема
Если ряд (4) сходится, то сходятся и ряды (1), (2) и
(3). При этом сумма данного ряда (1) равна
S S S
Определения
Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно
сходящимся, если сходится ряд (4), составленный из
модулей членов ряда (1).
Ряд (1) называется условно сходящимся, если он сам
сходится, а ряд (4), составленный из модулей членов ряда
(1), расходится.

8.

Знакочередующиеся ряды
Ряд называется знакочередующимся, если положительные и
отрицательные члены следуют друг за другом поочередно.
n 1
(
1
)
an
n 1
(1)
положительные числа
(модули членов ряда)
Достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда
является признак Лейбница.
Теорема
Знакочередующийся ряд (1) сходится если:
a1 a2 a3 ... an
lim a n 0
n
(2)
(3)
При этом сумма этого ряда удовлетворяет условию:
0 S a1

9.

Знакочередующиеся ряды
Доказательство
Вычислим отдельно частичные суммы ряда (1) с четным и
нечетным числом слагаемых.
S2n a1 a2 a3 a4 ... a2n 1 a2n
(a1 a2 ) (a3 a4 ) ... (a2n 1 a2n )
С учетом (2) выражения в скобках положительны, значит S2n > 0 ,
кроме того S2n монотонно возрастает т.к.
S2n 2 S2n (a2n 1 a2n 2 ) S2n

10.

Знакочередующиеся ряды
запишем S2n в виде:
S2n a1 a2 a3 a4 ... a2n 1 a2n
a1 (a2 a3 ) (a4 a5 ) ... (a2n 2 an 1 ) a2n
Выражения в скобках положительны и а2n > 0 , поэтому
справедливо:
S2n a1
Таким образом, последовательность S2n возрастает и ограничена
сверху, значит она имеет предел
lim S 2 n S
n
причем S > 0

11.

Знакочередующиеся ряды
Рассмотрим частичные суммы для нечетного числа слагаемых:
S2n 1 S2n a2n 1
Найдем предел:
S2n lim a2n 1 S
lim S2n 1 lim (S2n a2n 1 ) nlim
n
n
n
предел равен
нулю по условию
теоремы
Поэтому ряд сходится для любого числа слагаемых.

12.

Знакочередующиеся ряды
Пример 1
n 1
(
1
)
n 1
Исследовать на сходимость ряд:
1
1 1 1
1 ...
n
2 3 4
Для этого ряда справедливо:
1 1
1
1 ...
2 3
n
1
lim 0
n n
ряд сходится.
Данный ряд сходится условно, так как ряд
1
,
n 1 n
составленный из модулей членов ряда - расходится

13.

Знакочередующиеся ряды
Пример 2
( 1)
n 1
Исследовать ряд на абсолютную и условную
сходимость:
n 1
n
5n 4 n 1
Исследуем ряд на сходимость по признаку Лейбница:
1 2
3
4
5 81 407 1283
1
3
n
0
n
lim
0
n 5n 4 n 1
1
1
5 3 4 5
n
n
ряд сходится.

14.

Знакочередующиеся ряды
Исследуем ряд, составленный из модулей:
n
4
5
n
n 1
n 1
Используем предельный признак сравнения:
Un
n
5n 4 n 1
l 4; m 1
1
Выберем для сравнения ряд: Vn 3
n
k 4 1 3
обобщенный
гармонический ряд
сходится, так как
k = 3 >1.
n
4
1
1
4
n
5
n
n
1
lim
lim
lim
n
1
1
n 5n 4 n 1
5
n
1
5 3 4
3
n
n
n
Ряд сходится, значит исходный ряд сходится абсолютно.

15.

Свойства абсолютно сходящихся рядов
Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд,
полученный из него перестановкой его членов также
сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.
Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S1 и S2 можно
почленно складывать (вычитать). При этом получается
абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1+S2
(S1 - S2).
Под произведением двух рядов
u1 u2 u3 ...
v1 v 2 v 3 ... понимают ряд вида:
u1 v1 u1 v 2 u2 v1 u1 v 3 u2 v 2 u3 v1
и
Произведение абсолютно сходящихся рядов с суммами S1 и S2
есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1S2.

16.

Оценка остатка ряда
Соотношение 0 < S < a1 из теоремы Лейбница позволяет
получить оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму
знакочередующегося ряда его частичной суммой Sn.
S a1 a2 a3 a4 ... an an 1 an 2
Sn
rn
Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также
знакочередующийся ряд:
rn an 1 an 2
Сумма этого ряда по модулю меньше первого члена ряда:
rn an 1
Таким образом, абсолютная погрешность приближения:
меньше первого отброшенного члена ряда.
S Sn

17.

Оценка остатка ряда
Пример
Вычислить приближенно сумму ряда, взяв первых
пять членов ряда. Оценить погрешность
приближения.
1
n 1
(
1
)
n 1
nn
1
1
1
1
S5 1 2 3 4 5
2
3
4
5
1 1
1
1
1
0.7834
4 27 256 3125
S 0.7834
1
1
6
0.00003
6
46656