Математическая статистика

1.

.

2.

Математическая статистика – раздел
математики, изучающий методы сбора,
систематизации и обработки результатов
наблюдений массовых случайных явлений.
Задачи математической статистики:
• Сбор, хранение и обработка информации.
•Установление и исследования различного рода
зависимостей на основании экспериментальных
данных.
• Изучение вероятностных характеристик
моделей реальных явлений.
• Разработка прогнозов, оценка их
достоверности.

3.

Статистические данные – сведения о числе объектов,
какой- либо обширной совокупности, обладающих теми
или иными признаками (число студентов, родившихся в
1980 г; балловые результаты ЕГЭ в городе).
Основной метод обработки статистических данных
– выборочный метод.
Алгоритм обработки статистических данных:
Упорядочение и группировка данных;
Составление таблиц распределения данных;
Построение графиков распределения данных;
Расчет основных числовых характеристик статистических
данных.

4.

Основные понятия математической статистики:
Генеральная совокупность – совокупность всех исследуемых
объектов.
Выборка – совокупность случайно отобранных объектов
генеральной совокупности.
Объем выборки – число объектов выборки или генеральной
совокупности.
Размах выборки – разность между наибольшим и наименьшим
значением числовой выборки.
Выборку, представляющую собой неубывающую
последовательность чисел, называют вариационным рядом.

5.

Основные понятия математической статистики:
Вариантой называют каждое полученное значение данных
конкретного измерения: x1 ; x2 ;... xk
Кратностью или частотой варианты называют число,
показывающее, сколько раз варианта встретилась в данном
измерении: n1 ; n2 ;...nk
Относительной частотой значений выборки называют отношение
частоты варианты к объему выборки:
nk
n1 n2
; ;...;
n n
n
Статистическим рядом называют последовательность пар:
x1 , n1 ; x2 , n2 ;... xk , nk

6.

Таблицы распределения данных:
Статистическое распределение (статистический ряд):
x1
x2
x3
...
xk
n1
n2
n3
...
nk
Выборочное распределение (статистический ряд):
x1
x2
x3
...
xk
n1
n
n2
n
n3
n
...
nk
n

7.

Графическое представление распределения данных:
Полигон частот:
Полигон частот
6
5
n
4
3
2
1
0
47
48
49
50
x
51
52

8.

Графическое представление распределения данных:
Гистограмма частот:

9.

Выборочные характеристики:
Выборочным математическим ожиданием (выборочным средним)
называют среднее арифметическое значение выборки:
n1 x1 n2 x2 n3 x3 ... nk xk
x1 x2 x3 ... xn
x
или
x
n
n
Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов
отклонений значений выборки от выборочного среднего:
x x x x x x ... x x
S
2
2
1
2
2
3
0
2
2
n
2
n
2
n x x n2 x2 x n3 x3 x ... nk x x x
S0 1 1
n
Среднее квадратичное отклонение:
S0
или
2

10.

Практическое применение средних величин
(выборочных характеристик)в медицине:
• Для оценки состояния здоровья, например параметров
физического развития (средний рост, средний вес, средний объем
емкости легких), соматических показателей (средний уровень
сахара в крови, средний пульс).
•Для оценки организации работы лечебно-профилактических и
санитарно-противиэпидемических учреждений, а также
деятельности отдельных врачей и других медицинских
работников.
•Для оценки состояния окружающей среды.

11.

Задача:
В результате измерения роста 7 - летних детей (см) получена выборка: 118,
121, 115, 125,125,117,124,120,120,119,121,119, 122, 127, 118, 120,123,130,123,116,
124, 127, 120, 122.
Представьте эти данные в виде дискретного статистического ряда
распределения и постройте полигон частот. Постойте гистограмму, если
число частичных промежутков равно 5. Определите среднее значение роста
детей и отклонение от него.
Решение:
Составим вариационный ряд выборки: 115, 116, 117, 118, 118, 119, 119, 120,
120, 120, 120, 121, 121, 122, 122, 123, 123, 124,124, 125, 125, 127, 127, 130.
Запишем статистическое распределение (статистический ряд):
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
127
130
1
1
1
2
2
4
2
2
2
2
2
2
1

12.

Построим полигон частот:
Полигон частот
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
127
130
xmax xmin
3
5
Число попаданий выборки в частичные промежутки
соответственно равны: [115, 118)-3, [118, 121)-8, [121, 124) - 6,
[124, 127) - 4, [127, 130) - 3. Соответственно высоты
прямоугольников равны: 1; 8/3; 2;4/3;1.
Определим ширину частичного промежутка: h

13.

Построим гистограмму частот(построена не правильно, переделать!!)

14.

Вычислим среднее значение выборки (средний рост детей):
x
1 115 1 116 1 117 2 118 ... 2 124 2 125 2 127 1 130
121,5 см
24
Вычислим дисперсию:
1 115 121,5 1 116 121,5 ... 2 127 121,5 1 130 121,5
S0
13,06
24
2
2
Вычислим среднее квадратичное отклонение:
S 0 13,06 3,6 см
2
2

15.

Задачи для самостоятельного решения:
1. Из продукции, произведенной фармацевтической фабрикой за месяц,
случайным образом отобраны 15 коробочек некоторого гомеопатического
препарата, количество таблеток в которых оказалось равным
соответственно 50, 51, 48, 52, 51, 50, 49, 50, 47, 50, 51, 49, 50, 52, 48.
Представьте эти данные в виде дискретного статистического ряда
распределения и постройте полигон частот.
2. Постройте гистограмму изменения кровяного давления (мм рт ст) у 200
практически здоровых женщин в возрасте 60-65 лет по данным
статистического распределения, если число частичных промежутков равно 3:
70-80
80-90
90-100
100-110
110-120
120-130
130-140
140-150
150-160
1
1
5
17
36
42
57
30
11
3. Исследуя продолжительность (в сек) физической нагрузки до развития
приступа стенокардии у 12 человек с ишемической болезнью сердца, получили
следующие данные: 289, 203, 359, 243, 232, 210, 215, 246, 224, 239, 220, 211.
Найдите среднюю продолжительность допустимой нагрузки для больных с ИБС.
4. Проведены измерения вязкости крови у 9 больных. Значения относительной
вязкости крови у больных составили: 5, 4, 3, 2, 6, 3, 4, 8, 10. Вычислите среднее
значение относительной вязкости крови и отклонение от него.

16.

Тест «Методы обработки и представления статистических данных»
Выберите правильный вариант ответа.
1. Исходным материалом для статистического исследования
являются:
а) статистические данные;
б) генеральные совокупности;
в) выборки.
2. Совокупность всех исследуемых объектов называют:
а) общей совокупностью;
б) выборкой;
в) генеральной совокупностью.
3. Совокупность случайно отобранных объектов из генеральной
совокупности называют:
а) выборкой;
б) гистограммой;
в) полигоном.

17.

Тест «Методы обработки и представления статистических данных»
Выберите правильный вариант ответа.
4. Основной метод обработки статистических данных:
а) разборный метод;
б) выборочный метод;
в) отборочный метод.
5. Размах выборки - это:
xmin x max
xmax x min
б)
в) x max x min
а)
6. Относительными частотами выборки называют:
а)
б)
n
n1 n2
; ;...; k
n n
n
n1 ; n2 ;...nk
n1 n2 ... nk
в)
n

18.

Тест «Методы обработки и представления статистических данных»
Выберите правильный вариант ответа.
7. Статистический ряд - это последовательность пар:
а)
x1 , x2 ; x2 , x3 ;... xk 1 , xk
n1 , x1 ; n2 , x2 ;... nk , xk
в) x1 , n1 ; x2 , n2 ;... xk , nk
б)
8. Полигон выборки представляет собой:
а) кривую;
б) ломаную линию;
в) прямую.
9. Дана выборка: 1,-2,10,-2,8,-5,4,7. Объем и размах выборки равен:
а) объем - 8; размах - 15;
б) объем - 10; размах - 13;
а) объем - 3; размах – 5.

19.

Тест «Методы обработки и представления статистических данных»
Выберите правильный вариант ответа.
10. Дана выборки 1,-2,10,-2,8,-5,4,7.
Вариационный ряд этой выборки имеет вид:
а) 10, 8, 7, 4, 1, -2, -2, -5;
б) -5, -2, -2, 1, 4, 7, 8, 10;
в) -2 ,-2 ,-5, 10, 4, 1, 7, 8.
Критерии оценивания: за каждый правильный ответ - 1 балл