Комплексные числа

1.

Комплексные числа
©И.В.Гутарова

2.

Комплексным числом z называется выражение вида z=a+ib,
где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая
определяется соотношением:
i 1;
2
i 1.
При этом число a называется действительной частью числа z
(a = Re z), а b - мнимой частью (b = Im z).
Если a=Re z=0, то число z будет чисто мнимым, если b=Im z=0, то
число z будет действительным.
©И.В.Гутарова

3.

Числа z = a + ib и z a ib называются сопряженными.
Два комплексных числа z1=a1+ib1 и z2=a2+ib2 называются
равными, если соответственно равны их действительные и
мнимые части:
a1=a2;
b1=b2
©И.В.Гутарова

4.

Комплексное число равно нулю, если соответственно равны
нулю действительная и мнимая части
a=b=0.
Также комплексные числа можно записывать, например, в
виде:
z = x + iy, z = u + iv.
©И.В.Гутарова

5.

Геометрическое изображение комплексных чисел
Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой
M(x;y) плоскости xOy такой, что х = Re z, у = Im z.
И, наоборот, каждую точку M(x;y) координатной плоскости
можно рассматривать как образ комплексного числа z=x+iy.
y
y
M(x; y)
0
x
x
©И.В.Гутарова

6.

y
y
M(x; y)
0
x
x
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа,
называется комплексной плоскостью.
Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней
лежат действительные числа z=x+0i=x .
Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат мнимые
комплексные числа z=0+yi=yi.
©И.В.Гутарова

7.

y
Часто вместо точек на плоскости берут их радиус-векторы
r OM , т.е. векторы, началом которых служит точка O(0;0),
M(x; y)
y
r
0
x
x
концом M(x;y) .
Длина вектора r , изображающего комплексное число z, называется
модулем этого числа и обозначается | z| или r.
Величина
угла
между
положительным
направлением
действительной оси и вектором r , изображающим комплексное
число,
называется
аргументом
этого
комплексного
числа,
обозначается Arg z или φ.
©И.В.Гутарова

8.

Аргумент комплексного числа z = 0 не определен.
Аргумент комплексного числа z ≠ 0 - величина многозначная и
определяется с точностью до слагаемого 2πk (k=0,-1,1,-2,2,..) :
Arg z=arg z+2 πk,
где arg z - главное значение аргумента, заключенное в промежутке
(- π, π].
©И.В.Гутарова

9.

Формы записи комплексных чисел
Запись числа в виде z = x + iy называют алгебраической
формой комплексного числа.
Из рисунка
видно, что x=rcosφ, y=rsinφ, следовательно,
комплексное z=x+iy число можно записать в виде:
z x iy r cos ir sin r (cos i sin ).
Такая
форма
записи
называется
тригонометрической формой записи комплексного
числа.
y
M(x; y)
y
r
0
x
x
©И.В.Гутарова

10.

Формы записи комплексных чисел
z x iy r cos ir sin r (cos i sin ).
Модуль r=|z| однозначно определяется по формуле
r x2 y 2 .
Аргумент φ определяется из формул
x
y
y
cos ; sin ; tg .
r
r
x
y
M(x; y)
y
r
0
x
x
©И.В.Гутарова

11.

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к
тригонометрической достаточно определить лишь главное значение
аргумента комплексного числа, т.е. считать φ=arg z.
y
Так как arg z , то из формулы tg
получаем, что
x
y
arg z arctg - для внутренних точек I, IV четвертей;
x
y
arg z arctg - для внутренних точек II четверти;
x
arg z arctg
y
- для внутренних точек III четверти.
x
©И.В.Гутарова

12.

Пример.
Представить комплексные числа
z1 1 i
и
1
3
z2 i
2
2
в тригонометрической форме.
©И.В.Гутарова

13.

Решение.
1) z1=1+i (число z1 принадлежит I четверти),
x=1,
y=1.
r 1 1 2,
2
2
Таким образом,
1
arctg arctg 1 .
1
4
z1 2 cos i sin .
4
4
©И.В.Гутарова

14.

Решение.
1
3
i (число z2 принадлежит II четверти)
2) z 2
2 2
3
1
.
x , y
2
2
2
1 3
r
1,
2 2
2
arctg 3 .
3
2
.
Так как z 2 II ч., то Arg z2
3
3
2
2
i sin
Следовательно, z 2 cos
.
3
3
©И.В.Гутарова

15.

Показательная функция w=ez, где z=x+iy - комплексное число
может быть записана в виде:
w e
x iy
e (cos y i sin y)
x
Данное равенство называется уравнением Эйлера.
Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое
число (х=0), то получаем:
eiy cos y i sin y.
Для сопряженного числа получаем:
e iy cos y i sin y
©И.В.Гутарова

16.

Если представить комплексное число в тригонометрической форме
z=r(cosφ +isinφ)
и воспользоваться формулой Эйлера
комплексное число можно записать в виде
eiφ=cosφ+isinφ,
то
z=r eiφ
Полученное равенство называется
комплексного числа.
показательной формой
©И.В.Гутарова

17.

Действия над комплексными числами
I) Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
1) Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i
называется комплексное число, определяемое равенством
z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2).
Свойства операции сложения:
1. z1+z2= z2+z1,
2. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),
3. z+0=z.
©И.В.Гутарова

18.

2) Вычитание комплексных чисел
Разностью двух комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i
называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным
с z2, дает число z1 и определяется равенством
z=z1 – z2=(x1 – x2)+i(y1 – y2).
©И.В.Гутарова

19.

3) Умножение комплексных чисел
Произведением
комплексных чисел
z1=x1+y1i
называется комплексное число, определяемое равенством
и z2=x2+y2i
z=z1 z2=(x1 x2 –y1 y2 )+i(x1 y2 –x2 y1 ).
Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение
i2= – 1.
©И.В.Гутарова

20.

3) Умножение комплексных чисел
Произведением комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется комплексное число, определяемое
равенством
z=z1 z2=(x1 x2 –y1 y2 )+i(x1 y2 –x2 y1 ).
Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение
i2= – 1.
Свойства операции умножения:
1. z1z2= z2z1,
2. (z1z2)z3=z1(z2z3),
3. z1(z2+z3 ) =z1z2+z1z3,
4. z∙1=z.
©И.В.Гутарова

21.

4) Деление комплексных чисел
Частным двух комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное число z,
z1
которое будучи умноженным на z2, дает число z1, т.е.
z , если z2 z = z1.
z2
©И.В.Гутарова

22.

4) Деление комплексных чисел
Частным двух комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное число z,
z1
z , если z2 z = z1.
которое будучи умноженным на z2, дает число z1, т.е.
z2
Если положить z1=x1+y1i,
z2=x2+y2i≠0, z=x+yi, то из равенства
(x+yi)(x2+iy2)= x1+y1i, следует
xx2 yy2 x1 ,
xy2 yx2 y1.
Решая систему, найдем значения x и y:
x1 x2 y1 y2
y1 x2 x1 y2
x
, y
.
2
2
2
2
x2 y 2
x2 y 2
Таким образом,
z
z1 x1 x2 y1 y2
y1 x2 x1 y2
i
.
2
2
2
2
z2
x2 y 2
x2 y 2
©И.В.Гутарова

23.

На практике вместо полученной формулы используют следующий
прием: умножают числитель и знаменатель дроби
z1
z2
сопряженное
мнимости
знаменателю
(«избавляются
от
на число,
в
знаменателе»).
©И.В.Гутарова

24.

Пример.
Даны комплексные числа 10+8i, 1+i.
Найти их сумму, разность, произведение и частное.
©И.В.Гутарова

25.

Пример. Даны комплексные числа 10+8i, 1+i. Найти их
сумму, разность, произведение и частное.
Решение.
а) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;
б) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i=9+7i;
в) (10+8i)(1+i) =10+10i+8i+8i2=2+18i;
2
10
8
i
(
10
8
i
)(
1
i
)
10
10
i
8
i
8
i
18 2i
г)
9 i.
2
1 i
(1 i)(1 i)
1 i
2
©И.В.Гутарова

26.

5) Возведение комплексного числа в n-ю степень
Выпишем целые степени мнимой единицы:
i 3 i 2 i ( 1)i i,
i 4 i 3 i ( i)i i 2 ( 1) 1,
i 5 i 4 i 1 i i,
i 6 i 5 i i 2 1
и т.д.
В общем виде полученный результат можно записать так:
i 4 n 1;
i 4n 1 i;
i 4n 2 1;
i 4n 3 i (n 0, 1, 2, ...).
©И.В.Гутарова

27.

Пример.
Вычислить i2092 .
Решение.
Представим показатель степени в виде n=4k+l и воспользуемся
свойством степени с рациональным показателем z4k+1=(z4)k ∙ z1 .
Имеем: 2092=4∙523 .
Таким образом, i2092 = i4∙523 =(i4)523, но так как i4=1, то
окончательно получим i2092 =1.
©И.В.Гутарова

28.

6) Извлечение квадратного корня из комплексного числа
Квадратным корнем из комплексного числа называется такое
комплексное число, квадрат которого равен данному.
Обозначим квадратный корень из комплексного числа x+yi через u+vi,
тогда по определению x yi u vi.
Формулы для нахождения u и v имеют вид
1
u
x x2 y2 ,
2
1
v
x x2 y2 .
2
Знаки u и v выбирают так, чтобы полученные u и v удовлетворяли
равенству 2uv = y .
©И.В.Гутарова

29.

Пример.
Извлечь квадратный корень из комплексного числа z=5+12i.
©И.В.Гутарова

30.

Пример. Извлечь квадратный корень из комплексного числа z=5+12i.
Решение.
Обозначим квадратный корень из числа z через u+vi, тогда (u+vi)2=5+12i.
Поскольку в данном случае x=5, y=12, то по формулам (1) получаем:
1
1
5 5 2 12 2 (5 13) 9;
2
2
1
v 2 5 5 2 12 2 4;
2
u2
u2=9; u1=3; u2= – 3; v2=4; v1=2; v2= – 2.
Таким образом, найдено два значения квадратного корня:
u1+v1i=3+2i,
u2+v2i= –3 –2i, . (Знаки выбрали согласно равенству 2uv=y, т.е. поскольку
y=12>0, то u и v одного комплексного числа одинаковых знаков.)
Ответ:
5 12i 3 2i .
©И.В.Гутарова

31.

II) Действия над комплексными числами, заданными в
тригонометрической форме
Рассмотрим два комплексных числа
тригонометрической форме
z1
и z2 , заданных в
z1 r (cos i sin ), z 2 (cos i sin ).
©И.В.Гутарова

32.

z1 r (cos i sin ), z 2 (cos i sin ).
1) Произведение комплексных чисел
z1 z 2 r cos i sin
2) Частное двух комплексных чисел (z2 ≠ 0)
z1 r
cos i sin
z2
©И.В.Гутарова

33.

Пример.
Даны два комплексных числа
z1 2 cos i sin ,
4
4
Найти
2
2
z 2 2 cos
i sin
.
3
3
z2
z1 z 2 ,
.
z1
©И.В.Гутарова

34.

z 2 cos 2 i sin 2 .
z1 2 cos i sin , 2
3
3
4
4
z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2 ,
Решение.
2
2
z
z
2
2
cos
i
sin
.
1) Используя формулу, получаем 1 2
4 3
4 3
11
11
i sin
.
Следовательно, z1 z2 2 2 cos
12
12
z1 r1
cos 1 2 i sin 1 2 ,
z 2 r2
2) Используя формулу, получаем
Следовательно,
z2
2 2
2
i sin
.
cos
z1
2 3 4
3 4
z1
5
5
2 cos
i sin
.
z2
12
12
©И.В.Гутарова

35.

3) Возведение комплексного числа в n-ю степень
Из операции умножения комплексных чисел следует, что
z 2 zz r 2 (cos 2 i sin 2 ).
В общем случае получим:
r (cos i sin ) r n (cosn i sin n )
n
где n– целое положительное число.
Это выражение называется формулой Муавра.
Следовательно, при возведении комплексного числа в
степень модуль возводится в ту же степень, а аргумент
умножается на показатель степени.
©И.В.Гутарова

36.

4) Извлечение корня п-ой степени из комплексного числа
Корнем п-ой степени из комплексного числа z называется комплексное
число w, удовлетворяющее равенству wn=z, т.е. n z w, если wn=z.
Если положить z r (cos i sin ), а w (cos i sin ), то, по определению корня и
формуле Муавра, получаем
z wn (cos i sin ) r cos i sin .
n
n r, n 2 k , k Z .
2 k
n
r,
.
Отсюда имеем
То есть
n
Поэтому равенство n z w принимает вид
n z n r cos 2 k i sin 2 k
n
n
где k 0, n 1.
©И.В.Гутарова

37.

Таким образом, извлечение корня n-ой степени из
комплексного числа z всегда возможно и дает n различных
значений. Все значения корня n-ой степени расположены
на окружности радиуса n z с центром в нуле и делят эту
окружность на n равных частей.
©И.В.Гутарова

38.

Пример.
Найти все значения
3
1 i 3.
©И.В.Гутарова

39.

3
1 i 3.
Решение.
Вначале представим число в тригонометрической форме.
В данном случае x=1, y 3 , таким образом,
r 1 3 4 2,
Следовательно,
arctg
3
arctg 3 .
1
3
z 2 cos i sin .
3
3
©И.В.Гутарова

40.

z 2 cos i sin .
3
3
n z n r cos 2 k i sin 2 k
n
n
2 k
2 k
3
, k 0, 1, 2.
z 3 2 cos 3
i sin 3
3
3
©И.В.Гутарова

41.

Запишем все значения 3 z :
2 k
2 k
3
, k 0, 1, 2.
z 3 2 cos 3
i sin 3
3
3
при k 0, z 0 2 cos i sin ;
9
9
3
при
7
7
k 1, z1 2 cos
i sin
;
9
9
3
13
13
при k 2, z 2 2 cos
i sin
.
9
9
3
7
7
3
z
2
cos
i
sin
;
z
2
cos
i
sin
;
Ответ: 0
1
9
9
9
9
3
13
13
z 2 2 cos
i sin
.
9
9
3
©И.В.Гутарова