Комплексные числа. Лекция 1

1.

§1. Комплексные числа
п.1. Основные определения.
Комплексное число имеет вид:
z x iy, x, y R, i 1,
2
i — мнимая единица.
C
— множество всех комплексных чисел.

2.

x Re z
y Im z
— действительная часть
— мнимая часть
z1 z2 Re z1 Re z2 , Im z1 Im z2
z x iy
— число, комплексно сопряженное к
z x iy
Re z 0 z z
Im z 0 z z
z z
z z
Re z
2
z z
Im z
2i

3.

Действия над комплексными числами
Сложение
x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 i y1 y2
Умножение
x1 iy1 x2 iy2 x1x2 ix1 y2 ix2 y1 i y1 y2
x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1
2
Деление
x1 iy1 x1 iy1 x2 iy2 x1x2 y1 y2
y1 x2 x1 y2
2
i 2
2
2
x2 iy2
x2 iy2 x2 iy2
x2 y2
x2 y2

4.

п.2. Геометрическая интерпретация.
M ( x, y )
y
O
x
M ( x, y ) x iy
OM ( x, y ) x iy

5.

Формы записи комплексных чисел
Алгебраическая
z x iy
Тригонометрическая
M ( x, y )
y
r
O
x r cos
y r sin
z r (cos i sin )
x

6.

y
r
x
O
Число r называется модулем числа z x iy
и обозначается r | z | .
r x y
2
2

7.

Угол между положительным направлением
действительной оси и вектором z называется
аргументом и обозначается Arg z.
x
cos
r
y
sin
r
Значение аргумента, заключенное в границах
(0 2 ),
называют главным значением аргумента, и
обозначают arg z.
Arg z arg z 2 k , k Z

8.

Замечание 1.
| z1 | | z2 |,
z1 z2
arg z1 arg z2
Показательная
i
Формула Эйлера: e cos i sin , R
z r (cos i sin ) r e
i

9.

п.3. Свойства модуля и аргумента.
1)
| z1 z2 | | z1 | | z2 |
Arg ( z1 z2 ) Arg z1 Arg z2
Доказательство.
z1 r1 (cos 1 i sin 1 )
z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
z1 z2 r1 r2 (cos 1 i sin 1 )(cos 2 i sin 2 )
r1 r2 cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )

10.

Замечание 2.
| z1 z2 ... zn | | z1 | | z2 | ... | zn |
Arg ( z1 z2 ... zn ) Arg z1 Arg z2 ... Arg zn
Замечание 3.
Пусть
Тогда
z1 z2 ... zn .
| z | | z |
n
Arg ( z ) n Arg z
n
n
r (cos i sin ) r (cos n i sin n ), n N
n
— формула Муавра
n

11.

Замечание 4.
Пусть n N, n 2.
z w
z w
n
n
z (cos i sin ) w r (cos i sin )
n
(cos n i sin n ) r (cos i sin )
n
n
r
r
2 k
n 2 k , k Z
, k Z
n
2 k
2 k
i sin ) r cos
i sin
n
n
n r (cos
n
k 0,1,...,n 1

12.

2)
z1 | z1 |
z2 | z2 |
Доказательство.
Свойство 1)
z1
Arg Arg z1 Arg z2
z2
z1
z1 z2
z2
z1
| z1 | | z2 |
z2
z1
Arg z1 Arg Arg z2
z2

13.

3)
| z1 | | z2 | z1 z2 | z1 | | z2 |, z1 , z2 C
4) Модуль разности z2 z1 равен расстоянию
между z1 и z2 .
y
z1
z1 z2
| z1 z2 |
| z1 |
| z2 |
O
| z1 z2 |
z2
x
| z2 z1 |
z2 z1

14.

п.4. Последовательности комплексных
чисел.
zn n 1
zn xn iyn , n 1,2,...
Число z называется пределом
последовательности zn , если
0 N N ( ) : n N
zn z
lim zn z
n

15.

Теорема 1.
zn xn iyn , n 1,2,...
lim zn z
n
lim xn x
n
lim yn y
n
Замечание 5.
| x | | x iy | | x | | y |
z
y
O
z x iy
x
| y | | x iy | | x | | y |

16.

Доказательство. Необходимость.
lim zn z
Пусть
n
0 N N ( ) : n N zn z
( xn x) i ( yn y )
xn x
n N
Замечание 5
yn y
lim xn x
n
lim yn y
n

17.

Достаточность.
Пусть lim x x
n
n
lim yn y
n
N1 N1 ( ) : n N1 xn x
0
N 2 N 2 ( ) : n N 2 yn y
N max{ N1 , N 2 } n N
| zn z | ( xn x) i ( yn y ) | xn x | | yn y | 2
Замечание 5
lim zn z
n

18.

п.5. Бесконечность и
стереографическая проекция.
€ C { }
C
Последовательность zn называется
сходящейся к , если
M 0 N N (M ) : n N
zn M
lim zn
n

19.

-окрестностью конечной точки z0
называется внутренность круга с центром в
точке z0 и радиусом :
( z0 , ) | z z0 |
-окрестностью точки z называется
внешность круга с центром в начале
координат и радиусом 1/ :
1
( , ) | z |
Если 1 2 , то
( z1 , 1 ) ( z2 , 2 ), z .

20.

Точка z называется пределом
последовательности zn , если для 0 все
точки последовательности, начиная с
некоторого номера, принадлежат окрестности точки z.

21.

z
N
M'
y
O
x
M

22.

N — полюс сферы;
M ( x, y ) ;
M ' — стереографическая проекция точки M;
N — стереографическая проекция бесконечно
удаленной точки.
Установленное таким образом взаимно
однозначное соответствие между
€ называется
множествами точек сферы S и C
стереографической проекцией.
Сфера S называется комплексной числовой
сферой или сферой Римана.