Интеграл - от кухни до космоса!

1.

ПРОЕКТ ЛАБОРАТОРИИ «2К»
Девиз: ИНТЕГРАЛ- ОТ КУХНИ
ДО КОСМОСА!

2.

Интеграл нашел широкое применение не
только в физике и математике, но и в
решении многих практических задач.
Вот пример одной из них:
вода
крупа
Маша насыпала в цилиндрическую
кастрюлю немного пшена и спросила
соседку:
- Сколько нужно налить воды, чтобы
получилось вкусная каша?
- Это очень просто,- ответила соседка.Наклони кастрюлю, постучи, чтобы каша
пересыпалась и закрыла 1 /2 дна. Теперь
отметь точку на стенке кастрюли у края,
до которого поднялась крупа. До этого
уровня надо налить воды.
- Так ведь пшена можно насыпать
больше или меньше, да и кастрюли
бывают разные: широкие, узкие –
усомнилась Маша.
-
Все равно мой способ годится в любом
случае!- гордо ответила соседка.

3.

Докажем, что
отношение
объёмов воды
Vв и Vк
по данному рецепту
для любой
цилиндрической
кастрюли
получается
одинаковым.

4.

Решение задачи:
Vт =∫ S(x) d x
S=∫f(x) d x
Поместим исследуемую модель в систему
координат, так чтобы основание цилиндра
лежало в плоскости XOY , а центр основания О
стал началом системы координат.
Через x є OX, x є [-R; R] строим сечение тела
плоскостью перпендикулярной (XOY)
параллельно OY. Треугольник MNX- сечение.
Треугольник MNX подобен
треугольнику ABO:
MN/AB=MX/AO
MN/h= y/R, N (x; y; z), MN=h y /R
Sмn x=1/2MN·MX= hy²/2R, но M є окружности
x²+y²=R², т. е. y²=R²-x²
S( x) = Sмn x= h (R²-x²) /2R
Vтела=2∫S(x)dx=2∫((R²-x²)h/2R)dx=h/R(R²xx³/3)| = h/R(R³-R³/3)=2hR³/3R=2/3hR²
Vв=Vц-Vк=πR²h-2/3R²h=R²h/3(3π-2)
Vв/Vк=3 π/2-1, следовательно не зависит от
размеров кастрюли.

5.

РЕАКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ
ФОРМУЛА ЦИОЛКОВСКОГО
дано:
М0- исходная масса ракеты
Мк – конечная масса ракеты
U0 – скорость истечения газов из сопла
ракеты
НАЙТИ:
V-скорость ракеты

6.

Решение:
1.
t=0 рассмотрим в момент времени t=Δt
Масса топлива: -Δm=m(t)-m(t+Δt)
Скорость ракеты: Δv=v(t+Δt)+v(t)
Суммарный импульс в момент времени
t+Δt: -Δm(-u0)+mΔv
2.
0=-Δm(-u0)+mΔv
3.
Делим обе части на Δt->0
0= m’(t)u0 + m(t)v’(t)
V’(t)=-u(m’(t)/m(t)) или v’(t)=(-u0*lnm(t))’
V(t)=-u0*lnm(t)+C
4.
Найдём С: пусть t=0 v(0)=0 => m(0)=M0 =>
0=-u0lnM0 +C т.е. С=u0lnM0
5.
v(t)=-u0lnm(t)+ u0lnM0 = u0ln(M0/m(t))
Топливо израсходовано: m(t)=MК
6
Окончательно получаем: v= u0ln(M0/MК)