Элементы специальной теории относительности

1.

Лекция 9

2. §§ Система отсчета

Тело отсчета, система координат и часы
составляют систему отсчета.
Существует СО, в которой все свободные
тела двигаются прямолинейно и
равномерно. Такая СО называется
инерциальной системой отсчета.
Только опытным путем можно
установить, какая СО является
инерциальной, а какая – нет.
02

3. §§ Принцип относительности

Рассмотрим ИСО K и вторую СО K',
двигающуюся относительно K
поступательно с постоянной скоростью
V
r r Vt , t t
преобразования
Галилея:
x x Vt ,
y y , z z , t t
03

4.

закон
сложения
скоростей
dr dr
V V
dt dt
2
2
d r d r
(
V
const)
a a
2
2
dt
dt
т.е. ускорение инвариантно
относительно преобразований Галилея.
Т.к. K – инерциальная, то свободная м.т.
двигается без ускорения. Так как a a ,
то в K' движение м.т. будет также неускоренным, следовательно K' – также ИСО.
04

5.

Сила и ускорение, а, значит, и уравнения
механики Ньютона инвариантны
относительно преобразований Галилея.
Принцип относительности Галилея
Во всех ИСО механические явления
протекают одинаково
Принцип относительности является
постулатом, т.е. основополагающим
допущением, выходящем за пределы
экспериментальной проверки.
05

6. §§ Преобразования Лоренца

Рассмотрим преобразования, отвечающие
двум принципам:
1) принципу относительности
Во всех ИСО все физические
явления протекают одинаково
2) принципу постоянства скорости
света
Скорость света не зависит
от движения его источника
или приемника.
06

7.

Рассмотрим две инерциальные СО K и K'.
Пусть K' двигается относительно K
поступательно с постоянной скоростью V
В общем случае
x 1 ( x, y, z , t ), y 2 ( x, y, z , t ),
z 3 ( x, y, z , t ), t 4 ( x, y, z , t )
Из однородности пространства и времени
следует, что преобразования должны
быть линейными:
1 ( x, y, z , t ) a1 x a2 y a3 z a4t a5
07

8.

Пусть при t = t' = 0 начала СК совпадают,
тогда a5 = 0. Получаем
y b1x b2 y b3 z b4t
z c1x c2 y c3 z c4t
x и x' совпадают, то
y 0 y 0 0 b1x b3 z b4t ,
z 0 z 0 0 c1x c2 y c4t ,
для любых x, y, z , t.
Поскольку оси
Тогда
b1 b3 b4 0 и c1 c2 c4 0
08

9.

Получаем
y b2 y, z c3 z ,
где b2 и с3 – величины, показывающие
во сколько раз длина промежутка
больше в K' по сравнению с K.
1
1
Обратный переход: y
y , z z .
b2
c3
Согласно принципу относительности
обе СК равноправны, следовательно
1
1
b2 b2 1, c3 c3 1.
c3
b2
09

10.

Запишем преобразования для x и t.
Они линейны и т.к. координата начала
K' (x' = 0) в K имеет координату x = Vt, то
x ( x Vt )
Если
K' считать неподвижной, то
x ( x Vt )
Коэффициенты α и α' определим
из принципа относительности.
Рассмотрим стержень длиной
L в ИСО.
10

11.

а) Стержень неподвижен в
K'
x2 x1 L – его длина
В
K стержень двигается со скоростью V.
Его длина – расстояние между двумя
точками неподвижной СК, с которыми
в один и тот же момент времени t0
совпадает начало и конец стержня:
x2 ( x2 Vt0 ),
Получаем
x1 ( x1 Vt0 ),
L
x2 x1 .
11

12.

б) Стержень неподвижен в K
x2 x1 L – его длина
Скорость стержня в
K' равна –V.
x2 ( x2 Vt0 ), x1 ( x1 Vt0 ),
L
x2 x1 .
Получаем
Согласно принципу относительности
обе СК равноправны и длина стержня
одинакова в K и K', следовательно
L
L
12

13.

Воспользуемся постулатом постоянства
скорости света.
Пусть в момент времени t = t' = 0
из начала K и K' испускается световой
сигнал
x ct ,
x ct ,
где c – скорость света, принимающая
в обеих системах одинаковое значение
ct ( x Vt )
ct t (c V )
ct ( x Vt ')
ct t (c V )
13

14.

умножая уравнения друг на друга,
получим
c t t tt (c V ) 1 1 V / c
Учитывая, что α = α', запишем
x ( x Vt )
x
x ( x Vt ) x Vt
x
x Vt Vt
1
t ' 2 1 x Vt
V
2
2
2
2
2
14

15.

V
Получаем t t 2
c
x
Преобразования Лоренца:
x
x Vt
1 V
2
c
2
, y y , z z ,
V
t 2 x
c
t
2 2
1 V c
15

16. §§ Длина двигающегося тела

Рассмотрим стержень, который покоится
относительно K'. Его длина
L x2 x1
x2 x1
1 V
2
c
2
L
1 V
2
c
2
Отсюда длина движущегося стержня:
L L 1 V
2
c
2
16

17. §§ Темп хода часов

Пусть в K' происходят два события в
моменты времени t'1 и t'2.
В K они происходят в моменты t1 и t2
в разных точках.
V
V
t2 2 x0
t1 2 x0
c
c
t t2 t1
2 2
2 2
1 V c
1 V c
t2 t1
t
2 2
2 2
1 V c
1 V c
17

18.

t t 1 V
2
c
2
интервал времени Δt' между событиями,
измеренный движущимися часами
меньше, чем интервал времени Δt между
теми же событиями, измеренный
покоящимися часами.
Темп хода движущихся часов замедлен
относительно неподвижных.
18

19. §§ Сложение скоростей

Рассмотрим обратное преобразование
x
x Vt
1 V
2
c
2
dx
dx Vdt
1 V
2
c
2
,
dy dy , dz dz ,
V
V
t 2 x
dt 2 dx
c
c
t
dt
2 2
2 2
1 V c
1 V c
19

20.

Скорость м.т.
в системе K:
dx x V
x
dt 1 V x
2
2 2
c
1 V c
dy
y
y
V x
dt
1 2
c
2 2
1 V c
dz
z
z
V x
dt
1 2
c
Результат сложения скоростей никогда
не превышает скорости света.
20

21. §§ Сложение ускорений

Запишем дифференциал скорости υx:
V x
V
d x 1 2 ( x V ) 2 d x
c
c
d x
2
V x
1 2
c
2 2
1 V c
d x d x
2 2
1 V x c
21

22.

Пусть начальная скорость точки в K'
равна нулю ( x y z 0) , тогда
d x
2 2
1 V c
ax
dt
32
a x
аналогично
ay
d y
1 V
2
c a y
2
dt
d z
2 2
az
1 V c a z
dt
22

23. §§ Уравнение движения

Релятивистский импульс
P m ,
где m m0
1 c – релятивистская
2
2
m0 – масса покоя.
масса частицы,
dP
F – релятивистское уравнение
dt
движения частицы
Замечание. В релятивистском случае
ускорение и сила не сонаправлены.
23

24. §§ Энергия

По закону сохранения энергии:
dP
dt
dE dA ( F )dt
dt
m0
d
1 2 c2
m d
m
d
1
0
0
2
2 2 32
1 2 c2
c (1 c )
24

25.

d d
m c2
0
d
1 2 c2
m0 d
(1 c )
2
2 32
Полная энергия частицы:
E
m0c
2
const
1 c
Эйнштейн положил const = 0.
2
E0 m0c – энергия покоя частицы.
2
2
25

26.

Кинетическая энергия частицы
1
2
Ek E E0 m0c
1
1 2 c 2
При малых скоростях (υ
m0
Ek
2
2
<< c) получаем
Связь энергии и импульса:
E c p m c
2
2 2
26

27.

Закон пропорциональности
массы и энергии
всякое изменение энергии тела ΔE
сопровождается изменением массы
тела Δm = ΔE/c2 и, наоборот,
всякое изменение массы Δm
сопровождается изменением
энергии ΔE = Δmc2.
27