Аксиомы стереометрии и следствия из них

1.

Аксиомы стереометрии
и следствия из них
Учитель математики
Наумова С.В.

2.

Стереометрия
• Стереометрия – это раздел геометрии, в
котором изучаются свойства фигур в
пространстве.
А
В
a

3.

Основные фигуры в
пространстве
• Основными фигурами в пространстве являются
точки, прямые и плоскости.
А
• Обозначения:
точки – А, В, С, …
С
прямые – a, b, c, … или АВ, СD, …
плоскости – α, β, γ, …
a
β
α
В
N
M
D

4.

Аксиомы стереометрии
• Аксиома 1 (А₁): Через любые три точки, не
лежащие на одной прямой, проходит
плоскость, и притом только одна.
А
С
В
Плоскость АВС
обозначается (АВС)

5.

Аксиомы стереометрии
• Аксиома 2 (А₂): Если две точки прямой
лежат в плоскости, то все точки прямой
лежат в этой плоскости.
b
В
α А
β
С
АВ∈ α
b∉β
a∉β
a
b⋂β=C

6.

Аксиомы стереометрии
• Аксиома 3 (А₃): Если две плоскости имеют
общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки
этих плоскостей.
β
А a
α
α⋂β=a

7.

Аксиомы стереометрии
описывают:
А₁
Способ
задания
плоскости
А
α
А₂
Взаимное расположение
прямой и
плоскости
А₃
Взаимное
расположение
плоскостей
В
С
А
α
В
С
А
α

8.

Следствия из аксиом
стереометрии
Т₁. Через прямую и
не лежащую на ней
точку проходит плоскость,
a
и притом только одна.
α
Т₂. Через две пересекающиеся
прямые проходит плоскость, b
и притом только одна.
α
А
В
c

9.

Задание.
Прочти чертеж
а)
А
В
а
С
b
α
б)
β
в)
γ
d
α
D
c

10.

Задание. Сколько плоскостей, соответствующих
граням куба, можно провести через выделенные
элементы? Назовите эти плоскости.
1) В₁
А₁
С₁ 2) В₁
D₁
А₁
В
С
С₁
D₁
В
А
D
4) В₁
А₁
С₁ 5) В₁
D₁
А₁
В
А
А
С
D
С
С₁
D₁
D₁
В
С
D
6) В₁
А₁
С
D
С₁
А
D
В
А
3) В₁
А₁
С₁
D₁
В
А
С
D

11.

Задание. Сколько плоскостей, соответствующих
граням куба, можно провести через выделенные
элементы? Назовите эти плоскости.
7) В₁
А₁
С₁ 8) В₁
D₁
А₁
В
А
С
В
С
D
С₁
D₁
В
А
С
D
С
D
С₁ 12)В₁
D₁
А₁
В
А
9) В₁
А₁
С
D
С₁ 11) В₁
D₁
А₁
В
А
D₁
А
D
10)В₁
А₁
С₁
С₁
D₁
В
А
С
D

12.

Задачи
Реши устно, построй чертеж
• 1) Точки А, В и С лежат на одной прямой,
точка D не лежит на ней. Через каждые три
точки проведена плоскость. Тогда число
различных плоскостей равно…
• 2) Плоскости α и β пересекаются по прямой
m. Точка А лежит в плоскости α, точка В –
в плоскости β. Тогда прямая АВ лежит в
плоскости β, если…

13.

Задание. По рисунку
ответьте на вопросы
1) Каким плоскостям принадлежат точки А, М, D, P?
2) Каким плоскостям принадлежат прямые
D
DВ, АВ, PС, АС?
3) В какой точке пересекаются
прямая АD и плоскость (АВС);
ВD и (АDС); АВ и (PDС)?
4) По какой прямой пересекаются А
плоскости (АВD) и (ВDС);
(АВС) и (АDС); (АВС) и (АВD);
P
(АВD) и (АDС); (PDС) и (АВС)?
В
М
С

14.

Самостоятельная работа
• Вариант 1
1.Назовите основные фигуры
на плоскости.
2.Сформулируйте аксиому А₂.
3.Могут ли прямая и плоскость
иметь две общие точки?
4.Сколько плоскостей можно
провести через три точки?
5.Сколько может быть общих
точек у прямой и плоскости?
• Вариант 2
1.Назовите основные фигуры в
пространстве.
2.Сформулируйте аксиому А₁.
3.Сколько плоскостей можно
провести через прямую и не
лежащую на ней точку?
4.Сформулируйте аксиому А₃.
5. Могут ли прямая и
плоскость иметь одну общую
точку?