Аксиомы стереометрии и их следствия

1.

1. Аксиомы стереометрии и их следствия.
1

2.

Планиметрия
Стереометрия
Изучает свойства
геометрических фигур на
плоскости
Изучает свойства фигур в
пространстве
В переводе с греческого
слово «геометрия»
означает «землемерие»
«гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить
Слово «стереометрия»
происходит от греческих слов
«стереос» объемный,
пространственный, «метрео»
– мерить

3.

Планиметрия
Основные фигуры: точка,
прямая
Стереометрия
Основные фигуры: точка,
прямая, плоскость
Наряду с этими фигурами мы
Другие фигуры: отрезок, луч, будем рассматривать
треугольник, квадрат, ромб, геометрические тела и их
параллелограмм, трапеция, поверхности.
прямоугольник, выпуклые и Например, многогранники. Куб,
невыпуклые n-угольники,
параллелепипед, призма,
круг, окружность, дуга и др. пирамида.
Тела вращения.
Шар, сфера, цилиндр, конус.

4.

Для обозначение точек используем прописные латинские
буквы
A
D
F
Для обозначение прямых используем строчные латинские
буквы
f
d
h
Или обозначаем прямую двумя прописными латинскими
буквами.
N
S
4

5.

Плоскость в стереометрии обозначают греческими
буквами, например:
А на рисунках чаще всего плоскость изображают в
виде параллелограмма. Но следует понимать и
представлять себе данную геометрическую фигуру
как неограниченную во все стороны.

6.

ОБОЗНАЧЕНИЯ
A a
B a
A
B
a
Точка A принадлежит прямой a
Точка B не принадлежит прямой a
Точка A принадлежит плоскости
Точка B не принадлежит плоскости
Прямая a лежит в плоскости
Прямая b не лежит в плоскости
b
b A Прямая b пересекает плоскость в точке A
c
Плоскости
и
пересекаются по прямой c

7.

Прочти чертеж
С
A
A C

8.

Прочти чертеж
b
B
c
a
b B
a
c

9.

Прочти чертеж
c
c

10.

Аксиомы стереометрии описывают:
А1.
Способ задания
плоскости.
А2.
Взаимное
расположение
прямой и
плоскости
А3.
Взаимное
расположение
плоскостей
А
В
А
С
В

11.

C
B
A
B a
A
А1.
Через любые три точки, не лежащие на
одной прямой, проходит плоскость, и
притом только одна.
А2.
Если две точки прямой лежат в
плоскости, то все точки прямой
лежат в этой плоскости.
a
А3.
Если две плоскости имеют общую
точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все
общие точки этих плоскостей.

12.

Следствия из аксиом
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит
плоскость, и притом только одна.
Q
a
P
М

13.

Через две пересекающиеся прямые проходит
плоскость, и притом только одна
b
a
М
N

14.

Способы задания плоскости
1. Плоскость можно
провести через три
точки.
Аксиома 1
2. Можно провести
через прямую и не
лежащую на ней
точку.
Следствие 1
3. Можно провести
через две
пересекающиеся
прямые.
Следствие 2

15.

В стереометрии мы будем рассматривать ситуации, задающие различные
расположения в пространстве основных фигур относительно друг друга
Определите: верно, ли суждение?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Любые три точки лежат в одной плоскости.
Любые четыре точки лежат в одной плоскости.
Любые четыре точки не лежат в одной плоскости.
Через любые три точки проходит плоскость и при том
только одна.
Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она
лежит в плоскости треугольника.
Если прямая проходит через вершину треугольника, то она
лежит в плоскости треугольника.
Если прямые не пересекаются, то они параллельны.
Если плоскости не пересекаются, то они параллельны.
ДА
НЕТ
НЕТ
НЕТ
ДА
НЕТ
НЕТ
ДА

16.

D
K
P
M
A
E
B
Назовите
плоскости, в
которых лежат
прямые
РЕ
МК
DB
C
AB
EC

17.

D
K
Назовите точки,
лежащие в
плоскостях АDB и
DBC
P
M
C
A
E
B

18.

D
K
P
M
A
E
B
Назовите прямые
по которым
пересекаются
плоскости
АВС и DCB
ABD и CDA
C PDC и ABC

19.

Назовите
D
K
P
M
точки пересечения
прямой DK с плоскостью
АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
C
A
E
B

20.

Закрепление изученного материала
Пользуясь данным
рисунком, назовите:
а) четыре точки, лежащие
в плоскости SAB, в
плоскости АВС;
б) плоскость, в которой
К
лежит прямая MN,
прямая КМ;
А
в) прямую, по которой
пересекаются плоскости
М
ASC и SBC , плоскости
SAC и CAB.
S
C
N
В

21.

Закрепление изученного материала
B1
Q
Назовите точки,
C1
P
A1
лежащие в
плоскостях DCC1 и
BQC
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости,
в которых лежит
прямая АА1

22.

Закрепление изученного материала
D1
С1
M
А1
Точка М лежит на ребре DD1
В1
N
D
А
Дан куб АВСDA1B1C1D1.
Точка N лежит на ребре CC1
Точка K лежит на ребре BB1
С
K
В
Назовите плоскости
в которых лежат точки М и N.
M: ADD1 и D1DC; N: CC1D1 и BB1C1

23.

Закрепление изученного материала
Точка М лежит на
Дан куб АВСDA1B1C1D1.
ребре DD1
D1
С1
Точка N лежит на
M
ребре CC1
А1
В1
Точка K лежит на
ребре BB1
N
D
А
F
С
K
В
MN ∩ BC = F
Каким
свойством
обладает
F 2) Найдите
MN, F точку
DC → FF
DD1C
– точку
прямых MN и DС.
точка
F?
и F АВС
пересечения

24.

Закрепление изученного материала
Точка М лежит на
Дан куб АВСDA1B1C1D1.
ребре DD1
D1
С1
Точка N лежит на
M
ребре CC1
А1
В1
Точка K лежит на
N
ребре BB1
D
С
K
А
KN ∩ ABC = O
В
О
3) Найдите точку
пересечения прямой KN
и плоскости АВС.