Логарифмические уравнения

1.

2.

«Логарифмический дартс»
log 1 2
4
log 2 32
log 25 125

3. Найдите ошибки:

1. log324 – log38 = 16
2. log315 + log33 = log35
3. log553 = 2
4. log2162 = 8
5. 3log24 = log2(4*3)
6. 3log23 = log227
7. log327 = 4
8. log223 = 8

4. Вычислите:

a) log211 – log244
b) log1/64 + log1/69
c) 2log525 +3log264

5. Тема урока:

6. Цели урока:

• Ввести определение логарифмического
уравнения,
• Рассмотреть способы решения
логарифмических уравнений,
• Научиться решать логарифмические
уравнения,
• Проверить первичные навыки решения
логарифмических уравнений

7. Определение

• Уравнение, содержащее переменную под
знаком логарифма или в основании
логарифма, называется логарифмическим
Например,
log x 1 5 1
log 2 x 3 или
• Если в уравнении содержится переменная
не под знаком логарифма, то оно не будет
являться логарифмическим.
2
lg x x 0
Например,

8.

Определите уравнения являющиеся
логарифмическими и не являющимися
логарифмическими:
1) ln 2 x 0
4)x
log 2 4
5
3
2
2) log 3 x x 1
5) log 2 x 3
7) ln x x 3 8) log x 16 2
3) log x 1 2 0
2
6) log 1 x 5 2
2
9)3 x 7 log 7 x
10) lg x 1 1 11) log 2 x x 1

9.

Являются
логарифмическими
Не являются
логарифмическими
1) ln 2 x 0
2) log 3 x x 2 1
3) log x 1 2 0
4)х
log 2 4
5
5) log 2 x 3
2
6) log 1 x 5 2
9)3 x 7 log 7 x
8) log x 16 2
11) log 2 x x 1
2
10) lg x 1 1
3
7) ln x x 3

10.

11. Методы решения логарифмических уравнений

1. По определению логарифма
Решение простейшего логарифмического уравнения
log a f ( x) b, где a 0, a 1
основано на применении определения логарифма и
решении равносильного уравнения
f ( x) a b
Пример 1
log 2 3 x 5 4
3 x 5 2 4
3 x 16 5
3 x 21
x 7

12. Методы решения логарифмических уравнений

2. Потенцированием
Под потенцированием понимается переход от
равенства, содержащего логарифмы,
к равенству, не содержащему их:
log а f ( x) log а g ( x), где a 0, a 1
f ( x) g ( x),
f ( x) 0 и g ( x) 0
Решив полученное равенство, следует сделать проверку корней,
т.к.применение формул потенцирования расширяет
область определения уравнения

13. Методы решения логарифмических уравнений

Пример 2
Решите уравнение
Потенцируя, получаем:
log 2 (2 х 4) log 2 ( x 1).
2 х 4 х 1,
2 х х 1 4,
х 3.
Проверка:
Если х 3, то log 2 (2 3 4) log 2 (3 1),
Ответ : 3 .
log 2 (6 4) log 2 2,
log 2 2 log 2 2,
1 1 верно.

14. Методы решения логарифмических уравнений

Пример 2
Решите уравнение
ОДЗ:
log 2 (2 х 4) log 2 ( x 1).
2 x 4 0, x 2,
x 1.
х 1 0;
x 2.
Потенцируя, получаем:
2 х 4 х 1,
2 х х 1 4,
х 3.
x 3 удовлетворяет условию x 2, следовательно, x 3
является корнем исходного уравнения.
Ответ : 3.

15. Методы решения логарифмических уравнений

3. Применение свойств логарифмов
Пример 3
Решите уравнение
log 3 х 5 log 3 2 3 log 3 2
log 3 х log 3 25 log 3 23
log 3 х log 3 32 log 3 8
log 3 х log 3 (32 : 8)
log 3 х log 3 4
х 4
Ответ : 4

16. Методы решения логарифмических уравнений

4. Введения новой переменной
Пример 4
log 22 x log 2 x 6.
Пусть log 2 x t , тогда
t 2 t 6 0,
Решите уравнение
ОДЗ: x>0
t1 3,
Переходя к переменной х, получим:
t 2 2.
1) log 2 x 3,
2) log 2 x 2,
2
x 2 3 ,
x
2
,
1
x .
x 4.
8
1
х ; х = 4 удовлетворяют условию х>0, следовательно,
8
1
1
Ответ : ;4
8
8
;4 - корни исходного уравнения.

17. Методы решения логарифмических уравнений

1. По определению логарифма
2. Потенцированием
3. Применение свойств логарифмов
4. Введения новой переменной

18. Определи метод решения уравнений:

2
5
1) log x 3 log 5 x 2
3) log 2 ( x 7) log 2 (11 x) 0
5) x 3 lg 1000 lg 100
2
3
7)2 log x 7 log 3 x 3
9) lg х 2 lg(3 х 4) lg 3 x
11)3 2 log ( х 1) 3 2 log 3 ( х 1)
По определению
2) log 1 ( x 2 3 x 1) 0
3
4) log 1 ( x 5) log 1 2
2
2
6) lg( х 5) 3
8) log 3 x 5 log 3 2 3 log 3 2
10) log 0,3 (5 2 x) 2
Применяя
св-ва логарифмов
Введением
Потенцированием
новой переменной

19.

№1 Найдите произведение корней уравнения
log ( х 2 0,1) 0.
1) - 1,21
2) - 0,9
3) 0,81
4) 1,21
№2 Укажите промежуток, которому принадлежит
корень уравнения
log 0, 4 (5 2 х) log 0, 4 2 1.
1) (- ∞;-2]
2) [-2;1]
3) [1;2]
4) [2;+∞)
№3 Найдите сумму корней уравнения
2
log 5 х log 5 x 2.
1) 5
2) 25,2
3) -25,2
4) - 5

20. Алгоритм решения логарифмических уравнений

1. Выписать условия, при которых
логарифмическое уравнение определено
2. Выбрать метод решения
3. Решить уравнение
4. Для найденных корней проверить
выполнение условий пункта 1
5. При записи ответа исключить
посторонние корни

21.

Проверочна
я работа!!!

22. Проверочная работа

Решите логарифмические уравнения:
1 вариант
1) log 2 (1 2 х) 3
2 вариант
1) log 3 (3 2 х) 2
2) log 4 ( х 8) log 4 (5 х 4)
2) log 7 ( х 9) log 7 (5 x 7)
3) log 2 ( х 1) log 2 ( x 3) 3
3) log 2 (1 х) log 2 (3 х) 3
4) log 32 х log 3 x 3 2
4) log 32 х log 3 x 2 8