Логарифмические уравнения и неравенства

1. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

РЕШЕНИЕ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.

2. Логарифмические уравнения

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнения, содержащие неизвестное
под знаком логарифма или в основании
логарифма называются
логарифмическими.
log a f ( x) b
log f ( x ) b a

3.

Решение уравнений, содержащих неизвестное
под знаком логарифма, основано на
следующих теоремах:
log a f ( x) g ( x)
f ( x) a g ( x )
log a f ( x) log a g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) 0
g ( x) 0
log a ( f ( x)) g ( x)
2n
2n log a f ( x) g ( x)

4.

Методы решения ЛУ:
1.Применение определения
логарифма
Вид уравнения
log a f ( x) b
2.Введение
новой переменной
log 2a f ( x) b log a f ( x) c 0
3. Приведение к одному и
тому же основанию
log a f ( x) log с g ( x)
4. Метод потенцирования
5 Метод логарифмирования
обеих частей уравнения
6. Функциональнографический метод
log a f ( x) log a g ( x)
loqa x
х
с
n
log a f ( x) g ( x)

5. Выбери метод решения уравнения

ВЫБЕРИ МЕТОД РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ
1
1) log 3 (4 x 1) 2 log 1
x 1
3
2) log
1
(2
x 2
4 ) 4
x
2
3)2 log 2 x 5 3 log x 2
1
4) log 9 x 2 (6 2 x x )
2
5) x lg x 3 0,01
2

6. Решите уравнения

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ
;.
loq
loq
6
2
( 4 x 3) 3
(2 x 3) loq ( x 4)
6
loq ( x 5) loq (2 x 1) 2
3
loq
3
3
( x 2 3 x 5) loq (7 2 x)
3
x
loq3 x
81

7. Найти корни уравнения

НАЙТИ КОРНИ УРАВНЕНИЯ
;.
loq
3
x 4 x

8. Для решения ЛУ графическим методом надо построить в одной и той же системе координат графики функций, стоящих в левой и правой

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛУ ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ НАДО
ПОСТРОИТЬ В ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ, СТОЯЩИХ В ЛЕВОЙ И ПРАВОЙ
ЧАСТЯХ УРАВНЕНИЯ И НАЙТИ АБСЦИССУ ИХ ТОЧКИ
ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
Найти корни уравнения
loq
3
x 4 x
Так как функция у= log3 х возрастающая, а функция у =4-х
убывающая на (0; + ∞ ),то заданное уравнение на этом
интервале имеет один корень.

9.

10. Логарифмические неравенства

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Решение неравенств, содержащих неизвестное под знаком
логарифма, основано на следующих теоремах:
log a f ( x ) g ( x )
f ( x ) a g ( x ) , если
log a f ( x ) g ( x )
f ( x ) a g ( x ) , если
log a f ( x) log a g ( x)
f ( x) g ( x), если
0 а 1
a 1
f ( x) 0
f ( x) 0
f ( x) 0
q( x) 0
q( x) 0
g ( x) 0
а 1
log a f ( x) log a g ( x)
f ( x) g ( x), если
0 a 1
f ( x) 0
g ( x) 0

11. Решите неравенства

1
.
РЕШИТЕ НЕРАВЕНСТВА
loq
loq
2
1
2
x 2
x 2
loq x 2
loq (6 x) 2
loq (2 x 1) loq ( x 4)
2
4
3
3
3

12.

.
loq x loq 72 loq 8
3
3
3
lq( x 8) lq(2 9 x)
2
loq
2
2
x 4 loq x 3
2

13. Логарифмическая «комедия 2>3»

Комедия начинается с
неравенства,
бесспорно правильного.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ «КОМЕДИЯ 2>3»
Затем следует
преобразование
тоже не внушающее
сомнения
Большему числу
соответствует больший
логарифм, если функция
возрастает, значит,
После сокращения на
Имеем 2>3.
В чем ошибка этого
доказательства?
1 1
4 8
2
1 1
2 2
2
1
1
lg lg
2
2
1
lg
2
3
3
1
1
2 lg 3 lg .
2
2