Матрицы и определители (тема 1)

1.

Тема 1. матрицы и определители
Матрицы. Основные понятия.
Действия над матрицами
Элементарные преобразования матриц
Определитель матрицы.
Определители второго порядка
Определители третьего порядка
Разложение определителя
Свойства определителей
Обратная матрица
1

2.

Матрицы. Основные понятия
Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная
из каких – либо элементов и имеющая m строк и n столбцов.
Элементами матрицы могут быть числа, алгебраические
выражения, функции и т.д.
a11
a 21
A
a
m1
a12 ... a1n
a 22 ... a 2n
am 2 ... amn
Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита,
элементы матрицы – теми же маленькими буквами.
Размерность матрицы обозначается:
количество строк
dim A m n
количество столбцов
2

3.

Если m n , то матрица называется прямоугольной.
Если m n
порядка).
, то матрица называется
квадратной (n - ного
Любое число (скаляр) можно представить как матрицу первого
порядка, размерностью 1 1 .
Матрица типа 1 n называется матрица-строка:
a a
11
12
a13 ... a1n
Матрица типа m 1 называется матрица-столбец:
a11
a 21
...
a
m1
3

4.

Квадратная матрица называется единичной, если ее элементы,
расположенные на главной диагонали, равны единице,
остальные – нулю (обозначается буквой Е):
1 0 0
E 0 1 0
0 0 1
Если все элементы квадратной матрицы равны нулю, то она
называется нуль-матрицей и обозначается символом 0.
0 0 0
O 0 0 0
0 0 0
4

5.

Действия над матрицами
Равенство матриц
Матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и их
соответствующие элементы равны.
A B
dim A dimB;
aij bij
Сложение (вычитание) матриц
Сумма и разность матриц существуют только для матриц
одинакового размера, при этом соответствующие элементы
матриц складываются или вычитаются.
C A B
dim A dimB dim C
c ij aij bij
5

6.

Умножение матрицы на число
При умножении матрицы A на число k получается матрица того же
размера, при этом каждый элемент матрицы A умножается на k.
B k A
dim A dimB; bij aij k
Найти значение выражения: C A 5 B
1 3 2
A
0 1 4
2 4 1
B
5 0 2
3 5 ( 4) 2 5 1 11 17 7
1 5 2
C
0 5 ( 5) 1 5 0 4 5 2 25 1 14
6

7.

Умножение матриц
Произведение матриц A * B определено только тогда, когда
число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, в
противном случае произведение не существует.
dim A m n
dim B n k
C A B существует
dimC m k
Произведением матрицы A размера [m n] с элементами aij
на матрицу B размера [n k ] с элементами bjq называется
матрица C размера [m k ] с элементами:
n
c iq aij b jq
j 1
7

8.

1 0 2
A
3 1 4
0 5 1
B 2 1 1
3 2 0
Найти С = A * B
dim A 2 3
dim B 3 3
0 5 1
B 2 1 1
3 2 0
c11 1 0 0 2 2 3
1 0 2
A
3 1 4
6 9 1
14 24 4
c 21 3 0 1 2 4 3
c12 1 5 0 1 2 2
c13 1 1 0 1 2 0
c 23 3 1 1 1 4 0
6 9 1
C
14 24 4
c 22 3 5 1 1 4 2
8

9.

Свойства операции произведения матриц:
2) AB A B ;
3) A B C AC BC ;
1) A BC AB C ;
4) В общем случае для произведения матриц не действует
переместительный закон: A B B A
иногда АВ существует, а ВА не имеет смысла. В случае, когда
АВ = ВА, матрицы А и В называются коммутативными.
5) Единичная матрица является коммутативной для любой
квадратной матрицы того же порядка:
EA AE A
6) Для двух квадратных матриц А и В одного порядка произведение
определителей равно определителю произведения .
det A det B det AB
9

10.

Транспонирование матрицы
Под этой операцией понимают переход от матрицы А к
матрице AT, в которой строки и столбцы поменялись местами
с сохранением порядка.
1 0 2
A
3 1 4
1 3
AT 0 1
2 4
10

11.

Элементарные преобразования матриц
Отбрасывание нулевой строки (столбца)
Умножение всех элементов строки (столбца) на число,
не равное нулю
Изменение порядка строк (столбцов)
Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца)
соответствующих элементов другой строки (столбца),
умноженных на любое число
Транспонирование
Две матрицы называются эквивалентными, если одна
получается из другой с помощью конечного числа элементарных
преобразований.
11

12.

Матрица А называется ступенчатой, если она имеет следующий
вид:
a11
0
A 0
0
a12
a22
0
0
a13
a23
a33
0
a1m a1n
a2 m a2 n
a3m a3n
amm amn
С помощью элементарных преобразований любую матрицу
можно привести к ступенчатому виду
12

13.

Определитель матрицы.
Для каждой квадратной матрицы n - ного порядка существует
определитель n - ного порядка, элементы которого равны
соответствующим элементам матрицы.
a11 a12
A a21 a22
a
31 a32
a11
a13
a23 A det A a21
a33
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
Определитель любой единичной матрицы равен единице.
Если определитель матрицы равен нулю, то
называется вырожденной, в противном случае
невырожденная.
матрица
матрица
13

14.

Определителем n – ого порядка называется число:
a11 a12
a21 a 22
an1 an 2
a1n
a 2n
ann
14

15.

Определители 2 порядка
Определители широко применяются во многих разделах
высшей математики, в теоретической механике, физике и т.д.
для сокращения записей и удобства вычислений.
Определитель 2 - го порядка это число, записанное в виде:
a11 a12
a11a22 a12a21
a 21 a 22
ai j
Номер строки
Элементы определителя,
Индексы
Номер столбца
из произведения элементов главной диагонали вычитается
Главная
диагональ
произведение элементов
побочной
диагонали.
определителя
Побочная диагональ
определителя
15

16.

Определитель третьего порядка
1
Метод треугольника
+
1 3 0
2 1 4
5 6 1
_
1 ( 1) 1 3 4 5 2 6 0 5 ( 1) 0
2 3 1 1 6 4 29
Метод треугольника применим только для определителей 3 порядка
16

17.

2
Метод Саррюса
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают
первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят
линии:
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13 a11 a12
a23 a21 a22
a33 a31 a32
Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в
формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в
формулу со знаком минус:
1 3 0 1 3
2 1 4 2 1 1 ( 1) 1 3 4 5 2 6 0 5 ( 1) 0
5 6 1 5 6
2 3 1 1 6 4 29
17

18.

Разложение определителя
Минором Mij элемента определителя aij называется определитель,
полученный после вычеркивания из исходного строки и столбца,
на пересечении которых стоит этот элемент.
Алгебраическое дополнение Aij элемента – это минор этого
элемента, взятый со знаком (+), если сумма номеров строки и
столбца, на которых находится элемент – четная, и со знаком (-),
если эта сумма – нечетная.
2
4 5
1 2
M 11 3 1 2
7 1
4 7
1
A11 ( 1)
1 2
M 11
M 11
7 1
2
4 5
2 4
M 23 3 1 2
4 7
4 7
1
A23 ( 1)
2 4
M 23
M 23
4 7
1 1
2 3
18

19.

Величина определителя равна сумме произведений элементов
какой – либо строки (столбца) определителя на их
алгебраические дополнения:
n
ai j A i j
Разложение определителя по элементам
i – ой строки
ai j A i j
Разложение определителя по элементам
j – ого столбца
j 1
n
i 1
2 1 0
0 1
0 3
3 1
1 2
1 1
0 3 1 2
( 1) 0
( 1)1 3
( 1) 1
2 1
2 5
5 1
2 5 1
2 (3 1 5 1) 1 (0 1 2 1) 2
19

20.

Свойства определителей.
Свойства определителя:
Величина определителя равна нулю, если элементы какого либо столбца или строки равны нулю:
0 0
0 a22 0 a21 0
a21 a22
Величина определителя равна нулю, если соответствующие
элементы двух строк (столбцов) равны
a11 a12
a11 a12
a11 a12 a11 a12 0
20

21.

Определитель меняет знак, если поменять местами строки
(столбцы):
a11 a12
a21 a22
a11 a22 a12 a21 a12 a21 a11a22
a12 a11
a22 a21
Определитель увеличивается в k раз, если элементы какого либо столбца (строки) увеличить в k раз:
k a11 k a12
a21
a22
k a11 a22 k a12 a21 k
a11 a12
a21 a22
Определитель не меняется при замене строк соответствующими
столбцами:
a11 a12
a21 a22
a11 a21
a12 a22
21

22.

Определитель не меняется, если к элементам какой-либо
строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой
строки (столбца), умноженные на произвольный множитель
a11
a12
a21 ka11 a22 ka12
a11a22 a21a12
a11a22 a11ka12 a21a12 ka11a12
a11 a12
a21 a22
Если определитель имеет так называемый треугольный вид,
то он вычисляется как произведение чисел, стоящих на
главной диагонали:
a11 a12 a13
0 a22 a23 a11a22 a33
0 0 a33
22

23.

Пример вычисления определителя при
помощи свойств
1
3 1 1 3 1
1 3 1
5 1
2 1 3 0 5 1 0 5 1 1
( 1)1 1
7 2
1 4 1 0 7 2
1 4 1
5 2 7 1 17
Выберем 1
К элементам
2
Разложим
столбец
и
К элементам
3
строки
прибавим
определитель
по
превратим
второй
строки
прибавим
элементы 11строки,
элементам
столбца
и третий
элементы
1
строки
умноженные на (-2)
элементы в нули
Также, используя свойства, можно привести определитель к
треугольному виду и вычислить по последнему свойству.
23

24.

Обратная матрица
Обратной матрицей по отношению к данной невырожденной
квадратной матрице A n - ного порядка, называется матрица,
которая, будучи умноженной как слева, так и справа на данную
матрицу, дает единичную матрицу.
Обратная матрица обозначается символом А-1. Таким образом,
согласно определению: АА-1=А-1А=Е.
1
A
A
A
A
A
det A 0
det A
T
1
Транспонированная матрица
Присоединенная матрица
получается из матрицы А Если определитель матрицы
получается путем замены каждого
путем замены строк т
равен нулю, то обратная
элемента матрицы А на его
соответствующими
матрица не существует
алгебраическое дополнение
столбцами
24

25.

Пример вычисления обратной матрицы.
0 3 1
0 3 1
0 3 1
2 1
4
(
1
)
2
2
1
0
det
A
2
4
1
A 2 4 1
2 2
2 2 0
2 2 0
2 2 0
0 2 2 Из второй -2 2 -1
T
A 3 4 строки
A 2 Разложим
2 вычтем
-2 2 определитель
по элементам
3 столбца
строку
1 1 первую
0
-4 6 -6
4 2
A 11 3 2
( 1)2 3 2
2 320 42 3 5
A 12 0
1 20 ( 1) 2
2 23
2 2 ( 4 1( 4) (
A 21 A
)14)2 1
A
2
0
1 0( 1)5 6
1
A
13
0
2
AA
(
1
)
4
1 320.5 3 2
12 101 (21 11) ( 11 ) 62 6 1
31 22
A
1 4331 2 03 4
1
1
A 2 2
2 1 1
2
2
3
3
4
6
6
25