Подготовка к экзамену по математике

1.

Центр дистанционного обучения
ПОДГОТОВКА К ЭКЗАМЕНУ
ФИО преподавателя:Головешкин Василий Адамович
e-mail: [email protected]
Online-edu.mirea.ru
online.mirea.ru

2.

Центр дистанционного обучения
Задача 1.
Тело движется по оси Х. Координата меняется в зависимости
от времени по закону X (t ) t 3 5t 2 3t 3 . Вычислить
скорость и ускорение при t 3 .
online.mirea.ru

3.

Центр дистанционного обучения
Задача 1.
Тело движется по оси Х. Координата меняется в зависимости
от времени по закону X (t ) t 3 5t 2 3t 3 . Вычислить
скорость и ускорение при t 3 .
dX d 3
Скорость V
t 5t 2 3t 3 3t 2 10t 3 при
dt dt
t 3 имеем V 3 32 10 3 3 0
dV d
Ускорение a
3t 2 10t 3 6t 10 при
dt dt
t 3 имеем a 6 3 10 8
online.mirea.ru

4.

Центр дистанционного обучения
Задача 2
Найти точку пересечения касательной к графику функции
y 2 x3 5 x 4 в точке M(1;3) с осью X , с осью Y
online.mirea.ru

5.

Центр дистанционного обучения
Задача 2
Найти точку пересечения касательной к графику функции
y 2 x3 5 x 4 в точке M(1;3) с осью X , с осью Y
У Угловой коэффициент касательной - kt равен значению
производной в данной точке
dy
6 x 2 5 x при x 1 имеем kt 11. Уравнение касательной
dx
y y0 kt x x0 y 3 11 x 1
Точка пересечения с осью X. Полагая y 0 , имеем
3
8
0 3 11 x 1 x 1
x
11
11
Точка пересечения с осью Y. Полагая x 0 , имеем
y 3 11 0 1 y 3 11 y 8
online.mirea.ru

6.

Центр дистанционного обучения
Задача 3
2 x
Найти точки максимума и минимума функции y x e
online.mirea.ru

7.

Центр дистанционного обучения
Задача 3
2 x
Найти точки максимума и минимума функции y x e
dy
Находим производную 2 xe x x 2 e x e x x x 2 .
dx
Определяем критические точки x x 2 0 x1 0 x2 2
Определяем интервалы знакопостоянства
x
;0
0; 2
2;
y
y
x 2 точка максимума .
x 0 точка минимума .
online.mirea.ru

8.

Центр дистанционного обучения
Задача 4
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y 3x3 9 x 5 на отрезке [0;2]
online.mirea.ru

9.

Центр дистанционного обучения
Задача 4
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y 3x3 9 x 5 на отрезке [0;2]
dy
9 x 2 9 0 x1 1 x2 1
9 x2 9
dx
x1 1 не лежит на отрезке [0;2]
y 0 5 , y 1 1 y 2 11
Наибольшее значение функции y равно y y 2 11
Наименьшее значение функции y равно y y 1 1
online.mirea.ru

10.

Центр дистанционного обучения
Задача 5
Найти сумму точек перегиба функции
x4 4 3
y
x 6 x2 8x 2.
3 3
online.mirea.ru

11.

Центр дистанционного обучения
Задача 5
Найти сумму точек перегиба функции
x4 4 3
y
x 6 x2 8x 2.
3 3
Найдем вторую производную
dy 4 x 3
d2y
2
4 x 12 x 8
4 x 2 8 x 12
2
dx
3
dx
Определяем точки, где она равна нулю
4 x 2 8 x 12 0 4 x 1 x 3 0
x1 1 x2 3 Определяем ее знак
x
1;3
; 1
3;
y
y
Так как вторая производная меняет знак во всех этих точках,
то точки x1 1 x2 3 , являются точками перегиба
S 1 3 2
online.mirea.ru

12.

Центр дистанционного обучения
Задача 6
Вычислить lim
x 3
12 x 3
sin 4 x
Вычислить lim
x 2
3
cos x
4
x 3
online.mirea.ru

13.

Центр дистанционного обучения
Задача 6
Вычислить lim
x 3
12 x 3
x 3 12 x 3
x 3
lim
lim
x 3
12 x 3 x 3 12 x 3 12 x 3
x 3
x 3 12 x 3
lim
6
x 3
x 3
sin 4 x
x 2
3
cos x
4
sin 4 x
4 cos 4 x
4 cos 4
16
lim
lim
x 2
x 2
3
3
3
3
3
3
cos x
sin x sin
4
4
4
4
2
Вычислить lim
online.mirea.ru

14.

Центр дистанционного обучения
Задача 7
2 x 1 3x 1
2
Вычислить lim
2
6 x 4 3x 1
36 x8 10 x 2 5
Вычислить lim
x
10 x 4 3x 7
x
online.mirea.ru

15.

Центр дистанционного обучения
Задача 7
2 x 1 3x 1
2
Вычислить lim
2
6 x 4 3x 1
2
2
1
1
2
2
x 2 x x 3 x
2 x 1 3x 1
lim
lim
x
x
3
1
6 x 4 3x 1
x4 6 3 4
x
x
x
2
2
1
1
x 2 x2 3
x
x
lim
6
x
3 1
4
x 6 3 4
x
x
2
online.mirea.ru

16.

Центр дистанционного обучения
Задача 7
36 x8 10 x 2 5
Вычислить lim
x
10 x 4 3x 7
10 5
8
x
36
x 6 x8
36 x8 10 x 2 5
lim
lim
x
x
3 7
10 x 4 3x 7
4
x 10 3 4
x
x
10 5
x 4 36 6 8
x
x
lim
0, 6
x
3 7
4
x 10 3 4
x
x
online.mirea.ru

17.

Центр дистанционного обучения
Задача 8
Вычислить производную функции y 3 x 8 tg 5 x в точке
x=0.
arctg 4 x
Вычислить производную функции y
в точке x=0.
sin x 2
online.mirea.ru

18.

Центр дистанционного обучения
Задача 8
Вычислить производную функции y 3 x 8 tg 5 x в точке
x=0.
Производная произведения
y 3 x 8 tg 5 x 3 x 8 tg 5 x
1
3 3 x 8
1
tg 5 x x 8
5
cos 5 x
3
2
2
y 0 10
online.mirea.ru

19.

Центр дистанционного обучения
Задача 8
Вычислить производную функции y
arctg 4 x
sin x 2
в точке x=0.
Производная частного
arctg 4 x sin x 2 arctg 4 x sin x 2
y
2
sin x 2
4
sin x 2 arctg 4 x cos x
2
1
16
x
2
sin x 2
y 0 2
online.mirea.ru

20.

Центр дистанционного обучения
Задача 9
Вычислить вторую производную функции y e 3 x sin x 3 в
точке x=0
online.mirea.ru

21.

Центр дистанционного обучения
Задача 9
Вычислить вторую производную функции y e 3 x sin x 3 в
точке x=0
x 1
x
y 3e 3 x sin e 3 x cos
3 3
3
x 1
x
y 3 3e 3 x sin e 3 x cos
3 3
3
1
x 1
x
3e 3 x cos e 3 x sin
3
3 3
3
81
x
x
y e 3 x sin 2e 3 x cos
9
3
3
y 0 2
online.mirea.ru

22.

Центр дистанционного обучения
Задача 10
Найти
z z
, , если z 7 x y 2 в точке (1;3).
x y
online.mirea.ru

23.

Центр дистанционного обучения
Задача 10
z z
, , если z 7 x y 2 в точке (1;3).
x y
z
7
7x y2
x x
2 7x y2
Найти
z 1;3
x
z
y y
z 1;3
y
7
8
7 x y 2 72xy y 7 xy y
2
2
2
3
4
online.mirea.ru

24.

Центр дистанционного обучения
Спасибо за внимание!
online.mirea.ru