Вступительный экзамен по математике (письменно)

1.

2.

3.

№
Балл
1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
10
8
14
Государственный университет по Землеустройству
9
14
Вступительный экзамен по математике (письменно)
1
2
1. Вычислить 81 4 ·32 5 .
2. Вычислите: log 2 162 log 2 (81) 1 .
3. Найдите производную функции y 3 x cos x .
4. Решите неравенство
2x 5
0.
3x
5. Решите уравнение: sin3x 1 0 .
6. Решите неравенство
2 3 6 x 1 .
7. Решите неравенство log 2 x 2 8x 11 1 lg x 2 8x 10 2 .
8. При каких значениях параметра a неравенство 2 x a 4 1 x имеет
хотя бы одно решение?
9. Векторы AB 3; 2; 2 и BC 1; 0; 2 являются смежными сторонами
параллелограмма ABCD . Определите величину угла между диагоналями
AC и BD .
10. В параллелограмме АBСD диагонали АС 2 и BD 3 . В 60 .
Найдите площадь параллелограмма, если CAВ 2 ABD .
10
14

4.

5.

1
4
2
5
1. Вычислить 81 ·32 .
Решение:
2
2
1
1
5
4
814 32 5 3 4 2 5 3 4 12
.

6.

7.

1
log
162
log
(
81
)
2. Вычислите:
.
2
2
Решение:
log 2 162 log 2 81 log 2 (162 /81) log 2 2 1 .

8.

9.

3. Найдите производную функции
y 3 x cos x .
Решение:
y cos x (3 x)sin x .

10.

11.

2x 5
0.
3x
4. Решите неравенство
Решение:
( x 5/ 2)
0,
x
5
2
Ответ: x 2,5;0 .
0

12.

13.

5. Решите уравнение:
sin3x 1 0 .
Решение:
2
sin 3x 1, 3x 2 n, n Z , x n, n Z
2
6 3
.

14.

15.

6. Решите неравенство
2 3 6 x 1 .
Решение:
3 6 x
2
2 , 3 6 x 0, x 0,5 .
0

16.

7. Решите неравенство log x 2 8x 11 1 lg x 2 8x 10 2 .
2
x 2 8 x 11 z; log 2
z 1 lg z 1 2 ;
f ( z ) log 2
z 1 lg z 1 - возрастающая
функция при z 0 , f (9) 2 , f ( z ) f (9) , z 9 , x 2 8 x 11 9 , x 2 8 x 20 0 ,
x 2
( x 2)( x 10) 0 ,
. Ответ: x ( ; 2] [10; ) .
x
10

17.

8
1. При каких значениях параметра a неравенство 2 x a 4 1 x имеет хотя бы
одно решение?
f ( x) 2( x a ) 4 x; f ( x) 1; min f ( x) 1; f ( x) 8( x a) 3 1; f ( x) 0; x a 1 / 2.
f (x)
f (x)
a 1/ 2
X
min f ( x) f (a 1 / 2) 2(a 1 / 2 a ) 4 a 1 / 2 a 3 / 8; a 3 / 8 1; a 11 / 8.
Ответ: a ( ;11 / 8] .

18.

19.

9. Векторы AB 3; 2; 2 и BC 1; 0; 2 являются смежными
сторонами параллелограмма
ABCD .
угла между диагоналями AC и BD .
Решение:
Определите величину

20.

10
В параллелограмме АBСD диагонали АС 2 и BD 3 . В 60 . Найдите
площадь параллелограмма, если CAВ 2 ABD .
10.
B
C
3/ 2
2
O 1
3/ 2
1
D
A
Обозначим ABD , CAB 2 .
Из AOB :
BO
AO
3
1
3
,
, cos ,
sin 2 sin 2 2 sin cos sin
4
sin 1
9
7
, BOA 180 0 3 .
16
4
S
1
1
BD AC sin 3 3 2 sin 3 3 sin 3 ,
2
2
3
7
7
5 7.
sin 3 3 sin 4 sin 3
4
4
16
4
3
S 3
Ответ: S
15 7
.
16
5 7 15 7
.
16
16