Определение конуса

1. Определение конуса.

МОУ СОШ №256
г.Фокино

2. Круговым конусом называется тело ограниченное кругом – основанием конуса, и конической поверхностью, образованной отрезками,

соединяющими точку, вершину конуса, со всеми
точками окружности, ограничивающей основание
конуса.

3. Элементы конуса.

4. Конус – это тело, которое получается, если коническую поверхность, образованную прямыми, соединяющими фиксированную точку со

всеми точками какой–нибудь
кривой, ограничить плоскостью.

5. Прямой круговой конус.

Круговой конус
называется
прямым, если его
высота попадает в
центр круга.

6. Все образующие конуса равны между собой и составляют один угол с основанием.

SOA SOB
SA SB l
SAO SBO

7.

?
• Чему равен угол
между
образующей и
основанием
конуса, если
известен угол
между высотой
и образующей.
650

8.

• Конус можно
получить, вращая
прямоугольный
треугольник вокруг
одного из катетов.
При этом осью
вращения будет
прямая, содержащая
высоту конуса. Эта
прямая так и
называется – осью
конуса.

9.

?
• Конус получен при
вращении
прямоугольного
треугольника
S = 14. Радиус
основания конуса
равен 4.
Определите
высоту этого
конуса.
7

10. Сечения конуса.

• Если через
вершину конуса
провести
плоскость,
пересекающую
основание, то в
сечении
получится
равнобедренный
треугольник.

11. Сечения конуса.

• Сечение конуса,
проходящее через ось,
называется осевым.
В основании осевого
сечения лежит
диаметр –
максимальная хорда,
поэтому угол при
вершине осевого
сечения – это
SKL осевое сечение
максимальный угол
KL 2 R диаметр
между образующими
KSL 2 угол при
конуса. (Угол при
вершине конуса).
вершине конуса.

12.

?
• Найдите
площадь осевого
сечения, если
известны радиус
основания конуса
и образующая.
30

13.

Сечения конуса.
• Любое сечение
конуса
плоскостью,
параллельной
основанию, - это
круг.

14.

?
• Через середину
высоты конуса
провели плоскость,
перпендикулярную
оси, и получили
круг R = 5. Чему
равна площадь
основания конуса?
100π

15. Задача.

Дано: H = R = 5;
SAB – сечение;
d (O, SAB) = 3.
Найти: SΔSAB

16. 1) В сечении равнобедренный треугольник. Найдем его высоту.

SOH ~ SDO
SD SO
SO SH
SO
5 5
25
SH
2
2
SD
4
5 3
2

17. 2) Определим боковые стороны и основание треугольника, являющегося сечением.

Из SOA:
SA 52 52 5 2
Из SAH :
175 5 7
AH SA SH
4
4
2
2

18. 3) Вычислим площадь треугольника.

25
SH
4
5 7
AH
4
5 5
AB 2 AH
2
1
1 25 5 7 125 7
S SAB SH AB
2
2 4
2
16

19. Вписанная и описанная пирамиды.

Пирамидой,
вписанной в конус,
называется такая
пирамида,
основание которой
– многоугольник,
вписанный в
основание конуса, а
вершина совпадает
с вершиной конуса.

20.

?
• Пусть высота конуса
равна 5 , а радиус
основания – 2.
В конус вписана
правильная
треугольная
пирамида.
Определите ее объем.
5√3

21. Вписанная и описанная пирамиды.

Пирамида
называется
описанной около
конуса, если ее
основание – это
многоугольник,
описанный около
основания конуса, а
вершина совпадает
с вершиной конуса.

22.

Плоскости боковых
граней описанной
пирамиды проходят
через образующую
конуса и
касательную к
окружности
основания, т.е.
касаются боковой
поверхности конуса.

23.

?
• Вокруг конуса
описана правильная
четырехугольная
пирамида. Радиус
основания и
образующая конуса
известны. Найдите
боковое ребро
пирамиды.
2√2

24. Боковая поверхность конуса.

Под боковой
поверхностью конуса
мы будем понимать
предел, к которому
стремится боковая
поверхность
вписанной в этот
конус правильной
пирамиды, когда
число боковых граней
неограниченно
увеличивается.

25. Теорема. Площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения длины окружности основания на образующую.

Дано:
R – радиус основания
конуса,
l – образующая конуса.
Доказать:
Sбок.кон.= π Rl

26. Доказательство:

1
S бок.пир. Росн.пир. h
2
h l
Pосн.пир. 2 R
1
S бок.кон. 2 Rl Rl
2

27.

?
• Пусть конус
будет получен от
вращения
прямоугольного
треугольника с
известными
катетами.
Найдите боковую
поверхность
этого конуса.
20π

28. Развертка конуса.

Развертка конуса –
это круговой сектор.
Его можно
рассматривать как
развертку боковой
поверхности
вписанной
правильной
пирамиды, у
которой число
боковых граней
бесконечно
увеличивается.

29.

• Зная угол,
образованный
высотой и
образующей
конуса, можно
вычислить угол
сектора,
полученного при
развертке
конуса, и
наоборот.

30.

• Найдем выражение
для градусной меры
угла развертки
конуса.

31.

?
• По данным рисунка
определите, чему
равен угол
развертки этого
конуса. Ответ
дайте в градусах.
720

32.

Задача.
Дано: полукруг радиусом R = 8.
Найти: Н, β ( угол между образующей и
основанием.)

33. 1) Используем формулу, связывающую угол кругового сектора развертки с углом между высотой и образующей конуса. Получим угол

между высотой и
образующей, а затем найдем угол между образующей и
основанием конуса.
2 sin
1
sin
2
0
30
0
0
90 60

34. 2) Найдем высоту конуса, используя определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике.

H
tg
R
tg 60 3
0
Н R tg
H 8 3

35. Объем конуса.

Теорема. Объем конуса равен одной трети
произведения площади основания на высоту.
Дано: R – радиус основания
Н – высота конуса
Доказать: Vкон.= 1/3 Sосн.H
1
2
Vкон. R H
3

36.

Доказательство:
Объемом конуса будем
считать предел, к
которому стремится
объем вписанной в
этот конус
правильной
пирамиды, когда
число боковых граней
неограниченно
увеличивается.

37.

Доказательство:
1
Vпир. S осн.пир. H
3
S осн.пир. S осн.кон. R
2
1
1
1 2
S осн.пир. Н S осн.кон. Н R H
3
3
3
1 2
Vкон. R H
3

38.

?
• Найдите объем
конуса, если
радиус его
основания равен
трем, а
образующая
равна пяти.
12π

39.

Задача.
Дано:
SABC – пирамида,
вписанная в конус
SA = 13, AB = 5,
‫ ے‬ACB = 300.
Найти: Vконуса

40. 1) Найдем радиус конуса по теореме синусов.

5
2R
0
sin 30
1
0
sin 30
2
R 5

41. 2) У пирамиды, вписанной в конус, высота равна высоте конуса и попадает в центр описанной окружности. Найдем высоту пирамиды.

Из SOB :
SB R H
2
2
2
H SB R 12
2
2

42. 3) Определим объем конуса.

1
2
Vкон. R H
3
1
2
Vкон. 5 12 100
3