Определение конуса

1. Определение конуса.

2. Круговым конусом называется тело ограниченное кругом – основанием конуса, и конической поверхностью, образованной отрезками, соединяющи

Круговым конусом называется тело ограниченное
кругом – основанием конуса, и конической
поверхностью, образованной отрезками,
соединяющими точку, вершину конуса, со всеми
точками окружности, ограничивающей основание
конуса.

3. Элементы конуса.

4. Конус – это тело, которое получается, если коническую поверхность, образованную прямыми, соединяющими фиксированную точку со всеми точкам

Прямой круговой конус.
Круговой конус
называется
прямым, если его
высота попадает в
центр круга.

5. Прямой круговой конус.

Все образующие конуса равны между собой и
составляют один угол с основанием.
SOA SOB
SA SB l
SAO SBO

6. Все образующие конуса равны между собой и составляют один угол с основанием.

?
• Чему равен угол
между
образующей и
основанием
конуса, если
известен угол
между высотой
и образующей.
650

7.

• Конус можно
получить, вращая
прямоугольный
треугольник вокруг
одного из катетов.
При этом осью
вращения будет
прямая, содержащая
высоту конуса. Эта
прямая так и
называется – осью
конуса.

8.

?
• Конус получен при
вращении
прямоугольного
треугольника
S = 14. Радиус
основания конуса
равен 4.
Определите
высоту этого
конуса.
7

9.

Сечения конуса.
• Если через
вершину конуса
провести
плоскость,
пересекающую
основание, то в
сечении
получится
равнобедренный
треугольник.

10. Сечения конуса.

• Сечение конуса,
проходящее через
ось, называется
осевым. В основании
осевого сечения
лежит диаметр –
максимальная хорда,
поэтому угол при
вершине осевого
сечения – это
максимальный угол
между образующими
конуса. (Угол при
вершине конуса).
SKL осевое сечение
KL 2R диаметр
KSL 2 угол при
вершине конуса.

11. Сечения конуса.

?
• Найдите
площадь осевого
сечения, если
известны радиус
основания
конуса и
образующая.
30

12.

Сечения конуса.
• Любое сечение
конуса
плоскостью,
параллельной
основанию, - это
круг.

13.

?
• Через середину
высоты конуса
провели
плоскость,
перпендикулярную
оси, и получили
круг R = 5. Чему
равна площадь
основания конуса?
100π

14.

15. Задача.

Теорема. Площадь боковой поверхности
конуса равна половине произведения длины
окружности основания на образующую.
Дано:
R – радиус основания
конуса,
l – образующая конуса.
Доказать:
Sбок.кон.= π Rl

16. 1) В сечении равнобедренный треугольник. Найдем его высоту.

?
• Пусть конус
будет получен от
вращения
прямоугольного
треугольника с
известными
катетами.
Найдите боковую
поверхность
этого конуса.
20π

17. 2) Определим боковые стороны и основание треугольника, являющегося сечением.

Развертка конуса.
Развертка конуса –
это круговой
сектор. Его можно
рассматривать как
развертку боковой
поверхности
вписанной
правильной
пирамиды, у
которой число
боковых граней
бесконечно
увеличивается.

18. 3) Вычислим площадь треугольника.

Задача.
Дано: полукруг радиусом R = 8.
Найти: Н, β ( угол между образующей и
основанием.)

19. Вписанная и описанная пирамиды.

1) Используем формулу, связывающую угол кругового
сектора развертки с углом между высотой и
образующей конуса. Получим угол между высотой и
образующей, а затем найдем угол между образующей и
основанием конуса.
2 sin
1
sin
2
0
30
0
0
90 60

20.

2) Найдем высоту конуса, используя определение
тангенса угла в прямоугольном треугольнике.
H
tg
R
tg 60 3
0
Н R tg
H 8 3

21. Вписанная и описанная пирамиды.

Объем конуса.
Теорема. Объем конуса равен одной трети
произведения площади основания на высоту.
Дано: R – радиус основания
Н – высота конуса
Доказать: Vкон.= 1/3 Sосн.H
Vкон.
1
2
R H
3

22.

Доказательство:
Объемом конуса будем
считать предел, к
которому стремится
объем вписанной в
этот конус
правильной
пирамиды, когда
число боковых граней
неограниченно
увеличивается.

23.

Доказательство:
Vпир.
1
S осн.пир. H
3
S осн.пир. S осн.кон. R
2
1
1
1 2
S осн.пир. Н S осн.кон. Н R H
3
3
3
Vкон.
1 2
R H
3

24. Боковая поверхность конуса.

?
• Найдите объем
конуса, если
радиус его
основания равен
трем, а
образующая
равна пяти.
12π

25.

Задача.
Дано:
SABC – пирамида,
вписанная в конус
SA = 13, AB = 5,
‫ ے‬ACB = 300.
Найти: Vконуса

26. Теорема. Площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения длины окружности основания на образующую.

1) Найдем радиус конуса по теореме синусов.
5
2R
0
sin 30
1
0
sin 30
2
R 5

27. Доказательство:

2) У пирамиды, вписанной в конус, высота равна
высоте конуса и попадает в центр описанной
окружности. Найдем высоту пирамиды.
Из SOB :
SB R H
2
2
2
H SB R 12
2
2

28.

3) Определим объем конуса.
Vкон.
Vкон.
1
2
R H
3
1
2
5 12 100
3