Комплексные числа

1.

Комплексные числа
Комплексным числом называется число вида z x y i,
где x и y – вещественные числа.
z x y i
называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Число x называется действительной частью, y – мнимой частью
комплексного числа z.
Это записывают следующим образом:
x Rez,
y Im z.
Число i называется мнимой единицей.
i 1,
i 2 1.

2.

• Если x 0 , то число z iy называют чисто мнимым.
• Если y 0 , то получается вещественное число z x .
• Два комплексных числа z x iy
сопряженными.
и
z x iy называются
2
2
Число z x y называется модулем комплексного числа.
y
Число arctg называется аргументом комплексного числа.
x

3.

z z sin i sin
называется алгебраической формой записи комплексного числа, а
z z e i
называется показательной формой записи комплексного числа, где
z x2 y 2 ,
y
x z сos
arctg или
y z sin
x

4.

Табличные значения аргумента можно легко определять по данному рисунку,
учитывая, что в скобках первое число – это cosφ, а второе – sinφ, т.е. (cosφ, sinφ).

5.

Геометрическое изображение комплексных чисел
Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить на плоскости
ХОУ в виде точки M(х,у).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа,
называется плоскостью комплексного переменного z (на плоскости
ставим символ z).
Ось ОХ – действительная ось, т.е. на ней лежат действительные
числа.
ОУ – мнимая ось с мнимыми числами.
y
M ( x; y )
O
x

6.

Действия над комплексными числами
в арифметической форме
z1 z2 ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) i
z1 z2 ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) i
z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) x1 x2 iy1 x2 ix1 y2 i 2 y1 y2
( x1 x2 y1 y2 ) ( x1 y2 x2 y1 )i
z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) x1 x2 iy1 x2 ix1 y2 i 2 y1 y2
2
2
z2 x2 iy2 ( x2 iy2 )( x2 iy2 )
x2 y2
( x1 x2 y1 y2 ) ( x2 y1 x1 y2 )i
x22 y22

7.

Действия над комплексными числами
в тригонометрической форме
z1 z2 z1 (cos 1 i sin 1 ) z2 (cos 2 i sin 2 )
z1 z2 cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )
z1 (cos 1 i sin 1 )
z1
z1
cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )
z2 z2 (cos 2 i sin 2 ) z2
z n z (cos n i sin n ) – формула Муавра
n
n
2 k
2 k
z n z cos
i sin
, k 0,1,..., n 1
n
n

8.

Действия над комплексными числами
в показательной форме
z1 z2 z1 ei 1 z2 ei 2 z1 z2 ei 1 2
z1 ei 1
z1 i ( 1 2 )
z1
e
i 2
z2
z2 e
z2
z n z ei n
n
n
z n z e
i
2 k
n
, k 0,1,..., n 1

9.

10.

Пример:
Пример:
Решить уравнение z 2 6 z 34 0.
D b 2 4ac 62 4 34 100,
D 100 100 1 10i,
b D 6 10i
3 5i,
2a
2
z1,2 3 5i.
z1,2

11.

Пример:
или
1
cos
0
2
sin 1
0
2