Основы теории случайных процессов

Основы теории СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Пространство элементарных событий ( генеральная совокупность)2 Основные понятия теории вероятностей Все сигналы и все помехи являются случайными, то есть непредсказуемыми.

Математическими моделями случайных сигналов и помех служат случайные процессы.

В основе лежит понятие случайного событияA случайное событиеA   элементарное событие33 Основные понятия теории вероятностейA случайное событие элементарное случайное событиеA   P вероятностная мера (функция множеств)  P:20;1 PA вероятность случайного событияA P1  достоверное событиеA44 Случайная величина1Ai элементарное случайное событиеi  P вероятностная мера (функция множеств) неудобна2xR55 Случайная величина P вероятностная мера (функция множеств) неудобна ()PFxx  функция распределения с.в.()Fxx функция распределения не убывает !166 ()PFxx  функция распределения с.в.()Fxx не убывает, но может оставаться постоянной на участках осиx()dFxwxdx()0F ()1F  ()()x wxdxFx ()1 wxdx 1 плотность распределения вероятностей77  ()()P FbFaab ()Fxx()dFxwxdx  ()()()Pba wxdxFbFaab ab Pab ab188 Примеры ФР и ПРВx()Fxx()wxab1baabx()Fxx()wx ()1,0ax Fxex 1 (),0ax wxaex a равномерное распределение экспоненциальное распределение99 Числовые характеристики с.в.

()kkkk mxwxdxxx  E начальный моментk- го порядка1() mmxwxdxx   начальный момент 1- го порядка, математическое ожидание, «центр распределения»x()wxmem мода медиана10x()wxmem Мода, медиана и математическое ожидание могут совпадать!10 5 05100.10.20.30.40.50wx1()wx4 ()10 x11 Мода может быть неединственной10 5 05100.10.20.3 2.5261015 wx2 ()wx2 ()()210 x1 0.5 00.5120.2 Wx()1 x Мода может представлять собой интервал12 Медиана всегда существует, но может быть не единственна30 20 10 01020300.10.20.30 wx10 ()wx10 ()()222 x1 01230.10.20.30.40.5 0.4290wrx()31 x13 Математическое ожидание (и другие моменты) существуют не всегда (пример – распределение Коши)  21()/1wx bxab   10 5 05100.10.20.30.4 0.318 6.563104 w.x()10 x14 центральный моментk- го порядка ()()k Mxmwxdx  2 ()() DMxmwxdx   центральный момент2- го порядка (дисперсия)D()kxm  ()kxmE 22 ()() xmxm E среднеквадратическое отклонение (СКО)15 2222 ()()()() DMxmwxdxxmxm  E центральный момент2- го порядка (дисперсия)D среднеквадратическое отклонение (СКО) 2222() mxwxdxxx  E средний квадрат2 ()() Dxmwxdx  22 (2)() xmxmwxdx  222mmm 2mm 16 Гауссово (нормальное) распределениеD2()21()2xmwxe 2()21()2xmx Fxedx  xms стандартное нормальное распределение21()2swse17 Стандартное гауссово распределение50.5m     интеграл вероятностейxms 5 (5)P5P5Pm Fxmss     замена переменных, приводящая гауссову с.в.

к стандартному нормальному распределению2/201()2xs xeds  (если порог больше МО)18 Стандартное гауссово распределение10.5m     1 (1)P1P1Pm Fxmss     (если порог меньше МО)19 Иногда используется функция ошибок202 erf()=xt xedt12 ()1erf2xFx       1 ()erf2x    424M20 Числовые характеристики с.в.

Иногда используются дополнительные числовые характеристики, грубо описывающие форму ПРВ Коэффициент эксцесса4243M  Коэффициент асимметрии313M (К.

Пирсон) (Р.

Фишер)23113M      (К.

Пирсон)21 Системы случайных величин совместная функция распределения  (,)P, Fxyxy   совместная ПРВ2(,)Fxywxyxy  (,)(,)yx Fxywxydxdy  22 Свойства ФР (,)0F  (,)1F  не убывает по каждому аргументу Свойства ПРВ (,)0wxy (,)1 wxydxdy   23 Совместная (двумерная) функция распределения  (,)P, Fxyxy   (,)0F  (,)1F  не убывает по каждому аргументу24 Совместная (двумерная) плотность распределения вероятностей (,)0wxy (,)1 wxydxdy   252(,)Fxywxyxy  (,)(,)yx Fxywxydxdy  26 Числовые характеристики системы 2 случайных величин Начальные смешанные моменты(,)kn mxywxydxdy    ()()(,)kn knxy Mxmymwxydxdy     Центральные смешанные моменты2711(,)xy mxywxydxdyk    11 ()()(,) xyxy MxmymwxydxdyR     ковариационный момент корреляционный момент28 Пример .

Пара гауссовских случайных величин22 1111222222212 ()()()()12 2(1)122121(,)21 xmxmxmxmr wxxer        12 1122 1212 ()()xxR xmxmr    коэффициент корреляции22122212 ()()221211(,)22 xmxm wxxee     При нулевом коэффициенте корреляции Некоррелированные гауссовские с.в.

– независимы!12 ()() wxwx290.9r120.5mm 0.5r12 0.05  12 0.15  300.9r12 0.05  120.5mm 0.9r 12 0.05  0r12 0.15  