Элементы теории случайных процессов

1. Элементы теории случайных процессов

Будак Владимир Павлович,
Национальный исследовательский
университет «МЭИ»
кафедра светотехники
: +7 (095) 763-5239
[email protected]

2. Случайные сигналы в ОЭС

1. Световое поле любого реального источника есть
статистический сигнал – частичная когерентность
2. Фоны имеют сложную структуру случайно изменяющуюся
по пространству и времени:
Волнений водной поверхности
Изменение прозрачности атмосферы
Природные фоны: лес, поля, горы – изменяются от
места к месту по вероятностному закону
3. Шумы приемной аппаратуры
Случайность появляется всегда для систем с бесконечным
числом свободы – атомарное строение вещества

3. Задачи с равновероятными исходами

Основные понятия теории вероятности – анализ азартных игр – задачи с
равновероятными исходами:
• Вероятность орел – решка: P(о)= P(р)=1/2;
• Грань игральной кости: P(г)=1/6;
• Карта из колоды: P(к) =1/32;
1
В случае равновероятных исходов
P( A)
вероятность события A:
общее число исходов
4!
С
В такой системе возможны и более сложные
2!2! 3 4 0.0125
P
(
A
)
ситуации – вероятность двух тузов в прикупе:
32!
С
31 32
2!30!
2
4
2
32
Общее определение вероятности по Laplace
(Pierre-Simon, 1749–1827) для систем с
равновероятными исходами:
P( A)
число благоприятных исходов
общее число исходов
Системы с бесконечным числом исходов

4. Геометрическая вероятность

Hall A. On an experimental determinition of π. – Messeng. Math., 1873, V2. P.113:
ρ
L
L
l
α
ρ
[0, L], [0, ]
l sin условие пересечения
S(A)
α
π
Определим некоторую меру события, которая пропорцианальна площади:
S ( A) l
2l
P( A)
sin
d
S0
L 0
L
P( A)
n( A)
2l N
N
L n( A)
Частотное определение вероятности Mises Richard (1883, Львов - 1953, Бостон):
частота =
n( A)
P( A)
N N
Что такое предел экспериментальной величины с точки зрения
математической теории?

5. Вероятностное пространство

Ω
I.
ω
A
Задано пространство Ω элементарных событий (исходов) ω: ω Ω;
II. Событие A является множеством ω и подмножеством Ω – существует
набор правил, по которым из элементов ω можно образовывать систему
подмножеств – алгебра ;
III. Введена мера множества события A, удовлетворяющая правилам:
1. 1 P(A) 0: P(Ω)=1, P( )=0
2. Ai , i 1, n Ai
n
n
Aj , i, j 1, n, i j : P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
Хорошо для математики, но неясна связь с физикой частотой события

6. Случайная величина

Случайная величина: функция ξ= ξ(ω), ω Ω на заданном вероятностном
пространстве (Ω, ,P);
Случайная величина сама является случайным событием на
вероятностном пространстве (X, ,Pξ) – непосредственно заданная
случайная величина;
Алгебра есть система интервалов на некотором сегменте X;
Pξ(B)= P(ξ B);
Случайная величина может быть:
1. непрерывной : P (dx) p ( x)dx
p ( x)dx 1
(X )
n
2. дискретной : P (dx) P ( x) ( x xi )
i 1
n
P (x ) 1
i 1
i
что позволяет не разделять непрерывную и дискретную
случайные величины

7. Моменты случайной величины

M
( ) P(d ) xP (dx) xp ( x)dx
( )
M n
(X )
- математическое ожидание (среднее)
(X )
1. Mc c;
3. M( 1 2 ) M 1 M 2 ;
2. Mc cM ;
4. M( 1 2 ) M 1 M 2
x n p ( x)dx
(X )
Центральные моменты
случайной величины:
Важнейшей из которых является дисперсия:
M( M ) n
( x M ) n p ( x)dx
(X )
D
( x M )
2
p ( x)dx
(X )
D M( M ) 2 M 2 2 M (M ) 2 M 2 (M ) 2 ;
1. Dc 0;
2. Dc c 2D ;
3. D( 1 2 ) D 1 D 2 ;
Моменты позволяют оценить не саму величину, а ее
распределение

8. Неравенство Чебышева

Чебышев Пафнутий Львович (1821–1894): ( 0) : P M
D
(X )
( x M )2 P (dx)
M
( x M )2 P (dx) 2
D
2
P (dx) 2 P M
M
Для дополнительного события: ( 0) : P M 1 D2
Специальная случайная величина:
1 N
i , ( i , i 1, N ) : (M i a) (D i 2 )
N i 1
2
1 N 1 N
1 N 1 N
M M i M i a, D D i 2 D i
N
N i 1 N i 1
N i 1 N i 1
1 N
2
1 N
P
P i a 1
a
i
N
2
N
N i 1
N i 1
Экспериментальное определение (измерение) математического
ожидания

9. Закон больших чисел в форме Bernoulli

Bernoulli Jacob (1654 - 1705):
ξi – индикатор события A:
1 N
n( A)
i N
N i 1
M i
1, если произошло A,
i
0, если не произошло A.
- частота события A.
P (d )
i
( )
P (d ) P( A)
по всем
A
n( A)
2
n( A)
P
P
P( A) 1
P( A)
N
2
N
N
N
Закон больших чисел является мостиком, соединяющим
математическую теорию с физическим содержанием

10. Случайные функции

ξ(t)= ξ(t,ω), ω Ω на заданном вероятностном пространстве (Ω,
,P), t T
• t – одномерная величина (время) –
случайный процесс;
1.24
1.22
1.2
• t – многомерная величина (радиус-вектор r)
– случайное поле
1.18
1.16
1.14
• ξ= ξ(t,ω0) – реализация случайного процесса
– осциллограмма тока или напряжения
1.12
1.1
1.08
1.06
1.35
1.4
1.45
1.5
t0
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
t
• ξ= ξ(t0,ω) – случайная величина, для которой
можно ввести Mξ(t), Dξ(t) – функции
параметра t
Можно ввести и вероятность Pξ (t,ω),
но она не будет характеризовать процесс

11. Многомерные распределения

1.3
1.25
Для определения процесса
необходимо знать вероятность того,
что ξ в момент времени t1 будет иметь
значение x1, а в момент времени t2
будет иметь значение x2, …
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0.95
1.1
1.2
1.3
1.4
t1
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
t2
Pn t1, x1; t2 , x2 ; ; tn , xn Pn x1 (t1 ) x1 x1; ; xn (tn ) xn xn
Для полной характеристики ПРОЦЕССА нужно знать сколь
угодно мерное распределение, что невозможно