Введение в математический анализ. Часть 2

1.

2.

1. Раскрытие простейших неопределенностей.
2. Первый замечательный предел.
3. Второй замечательный предел.

3.

1. Раскрытие простейших неопределенностей..
В частности,

4.

1. Раскрытие простейших неопределенностей..
Приведем примеры возможных действий, чтобы избавиться от них и
вычислить предел функции.
Неопределенность вида
Пример 1. Вычислить предел:
Решение.
Теорему о пределе частного применять нельзя, так как числитель и
знаменатель дроби конечного предела не имеют. В этом случае говорят:
имеем неопределенность вида
. Для избавления от неопределенности
вынесем за скобки в числителе и знаменателе дроби переменную в старшей
степени:
3 2
3 2
3x 2
2
2
x 8 2
x 8 2 2
8 8
x x
2
x
x
8 x 3x 2
lim
lim
2
lim
2 1 4
2 1
2x 1
x
x
2
x 4 x 2 x 1
x2 4 2 4
x 4 2 2
x x
x
x
2
Пример 2. Вычислить предел:
Решение.
Снова нельзя применять теорему о пределе частного, так как числитель и
знаменатель дроби конечного предела не имеют (снова имеем дело с
неопределенностью вида .

5.

1. Раскрытие простейших неопределенностей..
Для избавления от неопределенности вынесем за скобки в числителе и
знаменателе дроби переменную в старшей степени:
6х 2
2
5 1 5
x
x
6x 2 x5 2
х
lim
3
lim
2
x
1
4
x
2
x
1
x
x
x3 4 3 3
x
x
5
2
2 6
6
x2 3 1 5 1
x
x
lim
2
1
2
1
4
x
4 2 3 4
x
x
Пример 3. Вычислить предел:
Решение. Снова нельзя применять теорему о пределе частного, так как
числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют (снова имеем
дело с неопределенностью вида . Для избавления от неопределенности
вынесем за скобки в числителе и знаменателе дроби переменную в старшей
2
степени:
2
5
5
5
2
3 2х
x 3 1 3
1 3
1 1
x
x
x
2x x 5
х
0
lim
lim
lim
4
1
1
x
1
x 1
x
x
4
х 4 4
x 4 1 4
x
x
2
3

6.

1. Раскрытие простейших неопределенностей..
Замечание.
, в качестве проверки результатов
При раскрытии неопределенности
вычисления предела можно использовать следующие утверждения:
1. если в выражении, находящемся под знаком предела степень числителя
равна степени знаменателя, то предел равен отношению коэффициентов
при старших степенях переменных числителя и знаменателя.
2. если в выражении, находящемся под знаком предела степень числителя
больше степени знаменателя, то предел равен бесконечности.
3. если в выражении, находящемся под знаком предела степень числителя
меньше степени знаменателя, то предел равен нулю.

7.

1. Раскрытие простейших неопределенностей..
0
Неопределенность вида 0
Пример 4. Вычислить предел:
Решение.
Снова нельзя применять теорему о пределе частного, так как числитель так
и знаменатель дроби равны 0 (мы имеем дело с неопределенностью вида
0
. Для избавления от неопределенности вынесем за скобки в числителе и
0
знаменателе дроби переменную в меньшей степени:
3x 2 9 x 0
3х 9 3 0 9 9
x 3х 9
lim
3
2
0 lim x х 2 3х lim х 2 3х 2
0
x 0 x 3 х
x 0
x 0
0 3 0

8.

1. Раскрытие простейших неопределенностей..
0
0
Неопределенность вида
Пример 5. Вычислить предел:
Решение.
При решении данного примера применять теорему о пределе частного
нельзя, так как предел не только знаменателя, но и числителя равен нулю.
0
Получаем неопределенность вида 0 .
В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов
числителя и знаменателя на множители. Воспользуемся известной
формулой:
где x1, x2 - корни квадратного трехчлена ax² + bx + c.
Получаем:
x 2 5x 6 0
x 2 12 x 20 0
2
x 5x 6
0
2
2
D
(
5
)
4
1
6
1
D
(
12
)
4
1
20
64
lim
2
0
x 2 x 12 х 20
5
1
12
64
x
3;2
x 3, 4
10;2
1, 2
2 1
2 1

9.

1. Раскрытие простейших неопределенностей..
0
0
Неопределенность вида
х 3 2 3 1 1
x 3 х 2
2 10 8 8
lim
lim
х
10
x
2
x 2 x 10 х 2
Пример 6. Вычислить предел:
0
В данном случае для освобождения от неопределенности 0 умножаем
числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.
Получаем:

10.

1. Раскрытие простейших неопределенностей..
Пределы функций, в которых участвуют тригонометрические выражения,
обычно сводятся к первому замечательному пределу:
Также используют несколько его следствий:
Пример 6. Найти предел
0
Для избавления от неопределенности 0
замечательным пределом и следствием из него:
воспользуемся
первым

11.

1. Раскрытие простейших неопределенностей..
Неопределенности вида (0 · ∞), (∞ - ∞)
Неопределенности
вида (0 · ∞), (∞ - ∞), раскрываются с
0
приведения их к неопределенности 0
или .
помощью
Пример 7. Найти предел
Решение.
В этом примере получаем неопределенность вида (∞ - ∞). Приведем
выражение под знаком предела к общему знаменателю

12.

1. Раскрытие простейших неопределенностей..
Неопределенности вида (0 · ∞), (∞ - ∞)
Пример 8. Найти предел