Дифференциальное исчисление. Математический анализ

1.

Математический анализ
Тема: Дифференциальное исчисление

2.

Соответствие x0 f (x0) является функцией, определенной на
множестве D1 D(f).
Ее называют производной функции y = f(x) и обозначают
y ,
dy
,
dx
f ( x) ,
df
.
dx
Операцию нахождения для функции y = f(x) ее производной
функции называют дифференцированием функции f(x).

3. 3. Правила дифференцирования

1) Производная константы равна нулю, т.е.
C = 0, где С – константа.
2) Производная суммы (разности) равна сумме (разности)
производных, т.е.
(u v) u v
3) Производная произведения находится по правилу:
(u v) u v u v
Замечание. Формула дифференцирования произведения может
быть легко обобщена на случай большего числа множителей.
Например,
(u v w) u v w u v w u v w ,
(u v w t ) u v w t u v w t u v w t u v w t .

4.

4) (C u ) C u , где С – константа.
Говорят: «константа выносится за знак производной».
5) Производная дроби находится по правилу:
u u v u v
v
v2
v( x) 0 .
6) Если функция (t) имеет производную в точке t, а функция
f(u) имеет производную в точке u = (t), то сложная
функция y = f( (t)) имеет производную в точке t, причем
y f (u ) u
(правило дифференцирования сложной функции).

5.

По определению и с помощью
правил
дифференцирования
находят
производные
основных
элементарных
функций (так называемая
«таблица производных»).
Производная
любой
элементарной
функции
находится с помощью
таблицы производных и
правил
дифференцирования.

6.

7. 2. Свойства дифференциалов

Из теоремы 1 и правил дифференцирования получаем, что
справедливы следующие утверждения
1) Дифференциал константы равна нулю, т.е.
d(C) = 0 , где C – константа.
2) Дифференциал суммы (разности) равна сумме (разности)
дифференциалов, т.е. d(u v) = du dv .
3) Дифференциал произведения находится по правилу:
d(u v) = du v + u dv .
4) d(C u) = C du , где C – константа.
Говорят: «константа выносится за знак дифференциала».
5) Дифференциал дроби находится по правилу:
u du v u dv
d
,
2
v
v
v( x) 0 .

8.

6) Формула dy = f (x) dx справедлива не только в том случае,
когда x является независимым аргументом, но и в случае,
когда x – функция.
Поэтому формулу dy = f (x) dx
формой записи дифференциала.
Замечание. Формула
называют инвариантной
dy = f (x) x
(2)
не является инвариантной. Т.е. она не будет справедлива,
если x – функция.

9. §5. Производные и дифференциалы высших порядков

1. Производные высших порядков
Пусть y = f(x) дифференцируема на множестве X1 D(f) .
Тогда на X1 определена f (x).
Функцию f (x) называют также первой производной функции
f(x) (или производной первого порядка функции f(x)).
Если f (x) дифференцируема на некотором множестве X2 X1, то
(f (x)) называют второй производной функции y = f(x) (или
производной второго порядка функции f(x) ) и обозначают
d2 f
d2y
f ( x),
.
y ,
,
2
2
dx
dx
Замечание. Значение второй производной функции f(x) в точке
x0 обозначают
d 2 y ( x0 )
d 2 f ( x0 )
y ( x0 ),
,
f ( x0 ),
.
2
2
dx
dx

10.

Если f (x) тоже дифференцируема на некотором множестве
X3 X2, то ее производную (f (x)) называют третьей производной функции y = f(x) (или производной третьего
порядка функции f(x)).
Продолжая этот процесс, назовем n-й производной функции
y = f(x) ее производную от производной порядка n – 1.
Обозначают:
d3y
d3 f
– третья производная y = f(x);
y ,
, f ( x) ,
3
3
dx
dx
y ( 4) ,
d4y
,
4
dx
y (n) ,
dny
,
n
dx
f ( 4) ( x) ,
d4 f
– четвертая производная y = f(x);
4
dx
f ( n ) ( x) ,
dn f
– n-я производная y = f(x).
n
dx
Производные порядка n > 1 называют производными высших
порядков.

11.

12.

13. Теоремы о среднем.

14. Правило Лопиталя