Дифференциальное исчисление. Дифференциал функции

1. Дифференциальное исчисление

2. Дифференциал функции

3.

Пусть функция y f ( x ) дифференцируема на
отрезке [a; b]. Производная этой функции в точке х
определяется равенством: lim y f ( x).
x 0 x
y
f ( x) ( x) , где ( x ) бесконечно
Тогда
x
малая величина при x 0.
Откуда приращение функции принимает вид:
y f ( x) x ( x) x.
f ( x) x – главная часть приращения,
( x) x – бесконечно малая величина более
высокого порядка.

4.

Определение: Дифференциалом функции y f ( x )
называется произведение производной функции на
приращение аргумента: dy f ( x) x.
Рассмотрим функцию y x , тогда дифференциал
этой функции, с одной стороны равен dy dx , а с
другой стороны, по определению: dy ( x) x x.
Следовательно, приращение аргумента равняется
дифференциалу аргумента: x dx.

5.

Тогда, согласно определению, дифференциал
функции
равен
произведению
производной
функции на дифференциал аргумента:
dy f ( x) dx.
Пример: Найти дифференциал функции y tgx.
Решение:
dy tgx dx
dx
.
2
cos x

6. Основные свойства дифференциала

1. dC 0,
2. d (u v) du dv,
3. d (u v) udv vdu ,
u vdu udv
,
4. d
2
v
v
5. df (u ) f (u )du.

7.

Так как y f ( x) x ( x) x, а ( x) x –
бесконечно малая величина более высокого порядка,
то ею при вычислениях можно пренебречь, откуда
получаем, что y f ( x) x или y dy.
Так как y f ( x x) f ( x) , то
f ( x x) f ( x) f ( x) x.
f ( x x) f ( x) x f ( x) – формула приближенных
вычислений.

8.

Пример: Вычислить 4 15,8.
Решение:
4
Имеем f ( x) x .
Введем обозначения x x 15,8, , õ 16 , тогда
x 15,8 x 15,8 16 0,2, f (16) 4 16 2.
1
f ( x) x
4
3
4
1
,
1
1
f (16)
.
3
32
4 4 16
4 4 x3
Исходя из формулы приближенных вычислений
имеем:
4
1
15,8 f (16) x f (16) ( 0,2) 2 1,99375.
32

9. Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим функцию y f ( x) и соответствующий
ей график.
На графике возьмем произвольную точку М(х; у) и
проведем касательную в этой точке.
– угол,
который касательная образует с положительным
направлением оси Ох.
Независимой переменной
х дадим приращение x,
тогда функция получит
приращение y , точка
M 1 ( x x; y y ).

10.

Из треугольника МNT находим NT MT tg , так
как tg f ( x), MT x, то NT f ( x) x.
Согласно определению дифференциала функции
получили NT dy.
Таким образом, геометрически дифференциал
функции представляет собой приращение ординаты
касательной к графику функции в точке М(х; у).

11. Производные высших порядков

12.

Пусть функция y f ( x ) дифференцируема на
некотором отрезке [a; b]. Значения производной этой
функции f ( x) зависят от х, то есть производная
представляет собой функцию аргумента х.
Дифференцируя эту функцию, получаем так
называемую вторую производную от функции f ( x ).
Определение: Производной второго порядка
(второй производной) функции y f ( x ) называется
производная от её производной: y y .
Вторая производная обозначается y , f x .

13.

Производная от второй производной называется
производной третьего порядка или третьей
производной и обозначается: y или f x .
Производные четвертого, пятого и высших
порядков обозначают при помощи римских цифр
или в круглых скобках: y IV , yV , yVI или y 4 , y 5 , y 6 .
Определение: Производной n-го порядка от
функции y f ( x )
называется производная от
производной (n–1)-го порядка:
y
n
y
n 1
.

14.

5
y
x
Пример: Для функции
найти y , y , y ,
Решение:
y 5 x 4 ,
y 20 x3 ,
y 60 x 2 ,
y (4) 120 x,
y (5) 120,
y (6) 0,
y (7) y (8)
0.
kx
y
e
, (k const )
Пример: Для функции
выражение ее производной любого порядка.
Решение:
y k ekx , y k 2 e kx ,
(n)
n
kx
y
k
e
.
Следовательно,
y ekx ,
найти
y k 3 e kx ,

15. Дифференциалы высших порядков

16.

Пусть дана функция y f ( x ) , где х – независимая
переменная. Дифференциал этой функции dy f ( x)dx
есть функция аргумента х, но от х может зависеть
только первый сомножитель, второй – является
приращением независимой переменной х ( dx x ) и
от значения этой переменной не зависит.
Определение: Дифференциал от дифференциала
функции называется вторым дифференциалом или
дифференциалом второго порядка этой функции:
d (dy ) d 2 y.

17.

В силу определения дифференциала функции:
d 2 y d (dy ) f ( x)dx dx f ( x)dx 2 .
Дифференциал от дифференциала второго
порядка называется третьим дифференциалом этой
функции: d (d 2 y ) d 3 y.
3
2
2
d y d (d y ) f ( x )dx dx f ( x )dx 3 .
Определение: Дифференциалом n-го порядка
называется дифференциал от дифференциала (n–1)
порядка:
n
n 1
( n 1)
n 1
d y d (d y ) f
( x)dx dx f ( n ) ( x )dx n .

18.

Пользуясь дифференциалами различных порядков,
производную любого порядка можно представить
как отношение дифференциалов соответствующих
порядков:
n
dy
d2y
d3y
d
y
(n)
f ( x) , f ( x) 2 , f ( x) 3 , , f ( x) n .
dx
dx
dx
dx
Пример: Вычислить d 3 y функции y x 4 3x 2 4.
Решение:
y 4 x 3 6 x,
y 12 x 2 6,
d 3 y f ( x)dx3 24 x dx3.
y 24 x.

19. Правило Лопиталя

20.

Теорема (правило Лопиталя): Пусть функции f ( x)
и g ( x) определены и дифференцируемы в некоторой
окрестности точки а, за исключением, быть может
самой точки а. Пусть lim f ( x) lim g ( x) 0 и
x a
x a
g ( x) 0 . Тогда, если существует предел отношения
производных , то справедлива формула:
f ( x) 0
f ( x)
lim
lim
.
x a g ( x )
0 x a g ( x)

21.

ex 1
.
Пример: Вычислить предел: lim
x 0
x
Решение:
ex 1 0
(e x 1)
ex
lim
lim
lim e0 1.
x 0
x 0 1
x
0 x 0 ( x)
Если не только функции f ( x) и g ( x) , но и их
производные f ( x) и g ( x) бесконечно малы при x a
то правило Лопиталя можно применить повторно.
Замечание: Правило Лопиталя справедливо и когда
lim f ( x) lim g ( x) , неопределенность вида .
x a
x a

22.

2 x 2 3x 1
Пример: Вычислить предел: lim 2
.
x 3 x 2 x 1
Решение:
2 x 2 3x 1
(2 x 2 3 x 1)
4x 3
lim 2
lim
lim
2
x 3 x 2 x 1
x (3x 2 x 1) x 6 x 2
В результате опять получили неопределенность,
для ее разрешения применим правило Лопиталя
повторно.
(4 x 3) 4 2
lim
.
x (6 x 2) 6 3