Решение систем линейных уравнений матричным методом

1.

Решение систем
линейных уравнений
матричным методом

2.

Матричный метод решения систем
линейных уравнений
Матричный метод – это метод решения
через обратную матрицу квадратных
(с числом уравнений, равным числу
неизвестных) систем линейных
алгебраических уравнений с
ненулевым определителем.

3.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными
Запишем ее в матричной форме:
A — основная матрица системы, состоящая из
коэффициентов при неизвестных.
B — вектор - столбец свободных членов (слагаемых)
X — вектор – столбец решений системы

4.

Запишем СЛУ в виде матричного уравнения и решим его
AX = B
Умножим это матричное уравнение слева на A − 1 — матрицу,
обратную матрице A:
Так как A − 1A = E по определению обратной матрицы, получаем
E X = A − 1B
X = A − 1B
где A – 1=1/∆ ∙AТ ,
∆≠0
AТ - транспонированная матрица алгебраических дополнений,
соответствующих элементов матрицы A.

5.

Пример
Решить СЛУ матричным методом:
Сначала убедимся в том, что определитель матрицы из
коэффициентов при неизвестных СЛУ не равен нулю.

6.

Вычислим алгебраические дополнения для
элементов основной матрицы

7.

Запишем матрицу, транспонируем её и подставим в
формулу для нахождения обратной матрицы

8.

Найдем неизвестные, перемножив обратную
матрицу и столбец свободных членов
Ответ: x=2; y=1; z=4.