Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

1. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

2.

Решить уравнение – это
значит:
• установить, имеет ли
оно корни
• сколько корней
• и найти значение корней с
заданной точностью

3.

Графический метод решения уравнений
f ( x) 0
( x) g ( x)

4.

Пример:
Решить графически уравнение х3 - 2x2 + 2х - 1 = 0.
Первый способ.
Второй способ.
у = х3
у = 2x2 + 2х – 1
Ответ: х = 1

5.

Задача численного нахождения
корней уравнения
состоит из двух этапов:
•отделение корней
•уточнение корней

6.

Отделение корней
Корень уравнения f(х) = 0 считается
отделенным на отрезке [a,b], если на этом
отрезке уравнение f(х) = 0 не имеет
других корней

7.

Аналитический метод отделения корней
1) Если непрерывная на отрезке a; b
функция F(x) принимает на его концах
значения разных знаков, то уравнение
F(x)=0
имеет на этом отрезке, по меньшей мере,
один корень
2) Если функция F(x) к тому же еще и
строго монотонна, то корень на отрезке a, b
единственный

8.

f(A)*f(B)<0

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Алгоритм данного метода:
1.Определить начальные данные (a, b, ).
2.Если нужная точность достигнута (| b - a | < ) то
п.6
3.Найти середину очередного отрезка (c=(a+b)/2).
4.Если значения функции в точках а и c одного
знака (f(a)*f(c)>0), то в качестве следующего
отрезка взять правую половину (а=c), иначе левую
(b=c).
5.Иди к п.2.
6.Напечатать ответ (( a + b ) / 2 )

15.

Методом половинного деления уточнить
корень уравнения
x4 + 2 x3 – x – 1 = 0
лежащий на отрезке 0, 1 .

16. Метод хорд

Применяется в том случае, когда f'(X) и f''(X) не изменяют
знака на отрезке [a,b], т.е. функция f(X) на отрезке [a,b]
монотонна и не имеет точек перегиба

17. Метод хорд

y f (a)
x a
f (b) f (a) b a
x a
y f (a) f (b) f (a)
b a
f (a)
x a
b a .
f (b) f (a)

18. Метод хорд

y f (a)
x a
f (b) f (a) b a
xi 1 xi
f ( xi )
xi a ,
f ( xi ) f (a)
f (a)
x a
b a .
f (b) f (a)
xi 1 xi
f ( xi )
b xi
f (b) f ( xi )

19.

Найти положительный корень
уравнения (методом хорд)
x3 – 0,2 x2 – 0,2 х – 1,2 = 0
с точностью = 0,01.

20. Метод Ньютона (касательной)

В качестве исходной
точки х0 выбирается
тот конец интервала
[а, b], которому
отвечает ордината
того же знака, что и
знак f (х).
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
f ( x0 )
x1 x0
.
f ( x0 )

21. Метод простой итерации

f(х) = 0
x = ϕ(x).

22.

Решить уравнение
x3 – x – 1 = 0, на интервале 1<x<2
i
xi
0
1
1
1,260
2
1,312
3
4
1,322 1,3243