Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ. ПРИЗНАК
ЛЕЙБНИЦА

2. Знакочередующиеся ряды

ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ
Знакочередующимся рядом называется ряд вида
u1 u2 u3 u4 ... 1
n 1
un ... 1
n 1
n 1
un ,
un 0 n N
(то есть ряд, положительные и отрицательные
члены которого следуют друг за другом
поочередно)

3.

Для знакочередующихся рядов имеет место
достаточный признак сходимости, установленный
в 1714 г. Лейбницем.

4.

Признак Лейбница
Если члены знакочередующегося ряда
u1 u2 u3 u4 .. 1
таковы, что
и
n 1
un ...
un 0
u1 u2 u3 ... un ...
lim un 0
n
То ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит
первого члена.
0 S u1

5.

Следствие.
Остаток rn знакочередующегося
удовлетворяет условию
rn un 1
ряда
всегда

6. Пример 1

ПРИМЕР 1
Исследовать на сходимость ряд
1
1
1
1
n 1
.... 1
...
1 2 1 2 3 1 2 3 4
1 n !

7. Решение

1
1
1
1
n 1
.... 1
...
1 2 1 2 3 1 2 3 4
1 n !
РЕШЕНИЕ
Проверим выполнение условий признака Лейбница:
1
1
1
....
...
2! 3!
1 n !
и
1
0
n 1 n !
lim
Условия выполнены, следовательно данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится

8. Пример 2

ПРИМЕР 2
Исследовать на сходимость ряд
1 1 1
n 1 1
n 1 1
1 ... 1
... 1
2 3 4
n
n
n 1

9. Решение

1 1 1
n 1 1
n 1 1
1 ... 1
... 1
2 3 4
n
n
n 1
РЕШЕНИЕ
Проверим выполнение условий признака Лейбница:
1 1
1
1 .... ...
2 3
n
и
1
0
n n
lim
Условия выполнены, следовательно данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится

10.

Замечания:
1) Исследование знакочередующегося ряда вида
–u1+u2−u3+... (с отрицательным первым членом)
сводится путем умножения всех его членов на (-1) и к
исследованию ряда
n 1
1 un
n 1
Ряды, для которых выполняются условия признака
Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами
Лейбница)

11.

2) Соотношение 0<S<u1 позволяет получить простую и
удобную оценку ошибки, которую мы допускаем,
заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой
Sn.
Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также
знакочередующийся ряд (un+1−un+2+...), сумма
которого по модулю меньше первого члена этого ряда,
т.е. Sn<un+1.
Поэтому ошибка, совершаемая при замене S на Sn ,
меньше модуля первого из отброшенных членов.

12. Пример 3

ПРИМЕР 3
Вычислить приблизительную сумму ряда
1
n 1
n 1
1
n
n

13. Решение

1
n 1
n 1
РЕШЕНИЕ
1
nn
Данный ряд лейбницевского типа. Он сходится.
Можно записать:
1
1
1
2
2
3
3
... S
Возьмем первые пять членов ряда, т.е.
1
2
1
1
3
1
1
1
S5 1 2 3 4 5
0, 7834
2
3
4
5
4 27 256 3125
Сделали ошибку, меньшую, чем
1
1
0, 00003
6
6
46656
Итак, S 0, 7834