Числовые и функциональные ряды

1.

Томский
Томский политехнический
политехнический университет
университет
Доцент, к.ф.м.н.
Богданов Олег Викторович
Числовые и функциональные ряды (пр.2)
2016

2. ТИПЫ РЯДОВ

Числовые ряды
1. Знакоположительные
числовые ряды
2. Знакопеременные
числовые ряды
Функциональные ряды
1. Функциональные ряды
2. Степенные ряды
3. Ряды Фурье

3. Числовые ряды

u1; u2 ; u3 ; ...; un ; ... члены числовой последовательности
Пусть
О п р е д е л е н и е. Числовым рядом называется выражение
u .
n=1 n
u1 u2 u3 ... un ... =
Числа
u1; u2 ; u3 ; ...; un ; ... называются
членами числового ряда,
a un = f (n) - общим членом ряда. Для того, чтобы задать числовой
ряд, достаточно задать выражение его общего члена
как функцию его номера. Например
n=1
n
1 2 3
n
= ...
...
3n 1 2 5 8
3n 1
( 1)
n=1
n 1
(n 2) 3 4 5 6
( 1) n 1 (n 2)
= ...
....
n!
1! 2! 3! 4!
n!

4.

О п р е д е л е н и е. Сумма первых n членов ряда называется
n ой частичной суммой ряда и обозначается Sn , т.е.
S n = u1 u2 u3 ... un .
В частности:
S1 = u1, S2 = u1 u2 , S3 = u1 u2 u3
Частичные суммы ряда образуют числовую последовательность
О п р е д е л е н и е. Суммой
S
{S n }.
числового ряда называют предел
последовательности его частичных сумм {S n } при неограниченном
увеличении номера частичных сумм
S = lim S n .
n
Числовой ряд называют сходящимся, если он имеет сумму (в этом
случае существует конечный предел последовательности
частичных сумм ряда) и расходящимся, если таковая не
не
существует ( limn S n
существует).
Если числовой ряд сходится, то, естественно, он имеет сумму.

5. Необходимый признак сходимости

Если числовой ряд u1 u2 u3 ... un ... = n=1un .
сходится, то предел его общего члена обязательно равен нулю, т.е.
un = 0.
lim
n
Если необходимый признак сходимости не выполняется, т.е.
то ряд расходится.
un 0,
lim
n
Сходимость ряда исследуется по следующей схеме:
1.Проверяется необходимый признак сходимости.
2.Если необходимый признак выполняется, то окончательный
вывод о сходимости ряда решается с помощью достаточных
признаков сходимости.

6.

Необходимый признак следует понимать
так:
un = 0, то ряд может сходиться,
Если
lim
n
но
может
и
расходиться.
Если
2n 1
=
n=1
3n 1
n=1
lim un 0,
n
ряд
расходится.
точно
2n 1 2
1 3 5
= 0.
....расходится, т.к. limn
3n 1 3
4 7 10
1
1
1 1 1
расходится,
хотя
= 0.
= ....
limn
3n 1
3n 1 4 7 10
В дальнейшем, если предел общего члена ряда окажется
равным нулю, то будем говорить, что ряд может сходится, и
продолжать исследование на сходимость с помощью
достаточных признаков
5n
5 10 15
=
....
3
n =1
3n 2n 1 4 27 86
5n
=0
lim
3
n 3n 2n 1
ряд может сходится

7. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Числовой ряд является знакоположительным, если все его члены
положительны
Признак
сравнения 1
Пусть даны два знакоположительных
ряда
n=1un = u1 u2 u3 ... un ...
n=1vn = v1 v2 v3 ... vn ...,
(1)
(2)
причем, начиная с некоторого номера n = N , выполняется условие
un vn
Тогда (1),
(2).
из сходимости ряда (2) всегда следует сходимость и ряда
из расходимости ряда (1) следует и расходимость ряда

8.

Признак
сравнения
(предельный)
2
Если существует конечный, отличный от нуля предел отношения
un
limn = A 0,
vn
то оба ряда (1) и (2) одновременно либо сходятся, либо
расходятся.
При применении признака сравнения данный ряд
сопоставляется с одним из, так называемых, эталонных
рядов,
сходимость или расходимость которых установлена.

9.

Эталонные ряды
1.Геометрический ряд
Если |
n
q
:
n =1
Если
q |< 1
| q | 1
ряд сходится
ряд расходится
2. Обобщенный гармонический ряд
1
:
k
n =1 n
Если
Если
k > 1,
k 1,
то ряд сходится
то ряд расходится
3. Гармонический ряд
1
1 1
1
n=1 n = 1 2 3 n
ряд расходится

10.

Например, сходящимися рядами будут являться следующие ряды
k > 1:
1
1
, 3n 2
2
n =1 n
n =1
,
2
1
1
1
1
,
,
,
,
5
3/ 2
2n 1
n =1 n
n =1 n
n
n
1
3
n =1
n =1
7
n =1
7/2
| q |< 1 :
n
3
,
n =1 7
n
1
,
n =1 2
n
2
,
n =1 5
Например, расходящимися рядами будут являться следующие ряды
k 1:
1
1
1/ 2 ,
n =1
n n=1 n
1
1
1
1
1/ 3 , 5
5
,
3/ 5
3
3
n =1
n =1
n =1
n n=1 n
2 n
2n
n
| q | 1 :
4 2 ,
,
3
n =1
n =1
n
n
1
,
n =1
( 1) ,
n =1
n

11.

Признак сравнения применяется для решения
вопроса
о сходимости, к примеру, рядов
1
,
n 3n 1
n =1 2
n =1 3
n 5
7
5
n 4n 2
,
ln
1
n =1
1
n=1sin 5 2 , n=1 1 cos 2n , n=1 e
n
1
n
1 ,
1
,
2
n 3
n=1
n= 2
1
,
ln n
n arctg
1
.
4
n
При использовании этого признака нужно привести данный ряд к
эквивалентному ряду вида
A
n=1 n k
n
A
q
n=1
A
n=1 n k
n
A
q
n=1
При этом очень часто используется прием выделения главных членов
выражения, а также таблица эквивалентных бесконечно малых
величин

12. Таблица эквивалентных бесконечно малых величин

( x) 0
sin ( x) ~ ( x),
tg ( x) ~ ( x),
2
( x)
1 cos ( x) ~
,
2
( x)
n 1 ( x) 1 ~
.
n
arcsin ( x) ~ ( x),
arctg ( x) ~ ( x),
e
( x)
1 ~ ( x),
ln(1 ( x)) ~ ( x),

13.

1.
n= 2
1
ln n
-- ряд расходится, так как
а гармонический ряд
2
sin n
2. n =1 2
n n
2
1
sin n
< 5/2 ,
2
n n n
как
1
1
>
ln n n
1
n= 2
n
расходится.
-- ряд сходится, так
а ряд
1
n=1 5/2
n
сходится как обобщенный
гармонический с показателем
k = 5/2 > 1.

14.

1 2n
3. n =1
1 n2
1 2n 2n
~ 2
2
1 n
n
-- ряд расходится, так как члены его
для достаточно больших
эквивалентны членам гармонического
ряда
расход
2
2 а ряд
~ ,
ится.
n=1
n
n
n
2n 1
2
2n
4. n =1
~ n =1 3 = n =1 2
n (1 n) (n 2)
n
n
как
ряд сходится
обобщенный гармонический ряд с показателем
k = 2 >1
5.
1
n =1 3
n 2 4n
~ n =1
1
ряд расходится как обобщенный
2/3
n
гармонический ряд с показателем
k = 2/3 < 1

15.

1
1
1 1
1
6. n =1
sin
~ n =1
= n =1 3/2
3n 4
3n 2 n
6n
2 n
ряд сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем
k = 3/2 > 1
Здесь использовано то, что
sin
1
2 n
~
1
при
2 n
n
1
1
1
7. n =1n arctg 4 ~ n =1n 4 = n =1 3
n
n
n
ряд сходится как обобщенный гармонический ряд с
показателем
Здесь использована эквивалентность
1
1
arctg 4 ~ 4
n
n
при
n
k = 3 >1

16.

1
1
1
8. n =1
cos
~ n =1
3n 4
3n
2 n
ряд расходится
В данном случае использовано то обстоятельство, что
cos
1
2 n
1
при
n
1
1
9. n =1 1 cos 2 ~ n =1 4
n
2n
ряд сходится
как обобщенный гармонический ряд с показателем
Здесь мы воспользовались тем, что при
1 (1/n 2 ) 2
1
1 cos 2 ~
= 4.
n
2
2n
n
k = 4 >1

17.

2
2
1
10. n =1 ln 1
= 2 n =1 1/2
~ n =1
n
n
n
как обобщенный гармонический с показателем
Здесь использовано
2 2
ln 1
~
n
n
при
ряд расходится
k = 1/2 < 1.
n
n
1
11. n =1 sin n ~ n =1 n = n =1
2
2
2
ряд сходится как геометрический со
12.
5 e
n =1
3n
2n
знаменателем
n
5
5
~ n =1 2 n = n =1 2
e
e
3n
3
q 1/ 2 1
ряд расходится как геометрический со знаменателем
125
q = 2 > 1.
e

18. Признак Даламбера

Если в числовом знакоположительном ряде
un
n=1
существует предел отношения последующего члена ряда
равный числу p
к предыдущему un при
n
un 1
lim
n u
n
un 1
при p < 1 ряд сходится
= p, то при p > 1 ряд расходится
при p = 1 вопрос о сходимости
не решен

19.

Признак Даламбера применяется для решения вопроса о
сходимости таких рядов, общие члены которых содержат
степенные,
показательные выражения и факториалы
2
( n 5)
n=1 n3 n! , n=1 7 2n 1 ,
n
n!
n
n=1 3n , n=1 n! ,
( n 1)! ( n 2)!
n=1 (n 3)! .
n
2

20.

При применении признака Даламбера может встретиться необходимость
использования второго замечательного предела.
n
1
lim 1 = e,
n
n
Применяя
необходимо:
1) записать
признак
(n 1)
n
1
1
1
=
e
.
lim
n
n
Даламбера,
ый член ряда
2) найти предел отношения
u n 1 ,
un 1
= p,
limn
un
3) сравнить полученное значение
p
с единицей и сделать вывод о сходимости ряда.

21.

5n
1. n =1
.
2
(2n 1)
5n
5n 1
un =
, un 1 =
,
2
2
(2n 1)
(2(n 1) 1)
un 1
5n 1
(2n 1) 2
= limn
=
limn
2
n
un
(2n 3)
5
5(2n 1) 2
limn
= 5 >1
2
(2n 3)
Здесь учтено, что
-- ряд расходится
(2n 1) 2
= 1.
limn
2
(2n 3)

22.

2.
un =
2n 1
n =1
2n 1
3
n 7
n
n 7
3
n
.
, un 1 =
2(n 1) 1
3
(n 1) 7
n 1
=
2n 1
3
(n 1) 7
n 1
un 1
(2n 1)
n3 7 n
= limn
=
limn
un
(n 1) 3 7 n 1 (2n 1)
(2n 1)
n3
7n
1
= limn
= limn
<1
3
n
1
(2n 1) (n 1)
7
7
сходится.
Здесь учтено, что при
n
n3
-- ряд
2n 1
1,
1.
2n 1
(n 1)3
,

23.

nn
3. n =1 .
n!
n 1
n
n
(n 1)
un = , un 1 =
n!
(n 1)!
n 1
u n 1
(n 1)
n!
(n 1) (n 1) n!
= limn
n = limn
=
limn
n
un
(n 1)! n
n! (n 1) n
n
n
n
n 1
1
= limn
= limn 1 = e 2,718... > 1
n
n
-- ряд расходится

24.

2 n n!
4. n =1 n
n
un 1
2 n 1 (n 1)! n n
= limn
n =
limn
n 1
un
(n 1)
2 n!
2 n!(n 1) n n
limn
=
n
(n 1) (n 1) n!
n
2 n
n
=limn
=
2
=
n lim n
(n 1)
n 1
2
2
2
limn
=
= < 1.
n lim n
n
1 e
n 1
1
n -- ряд сходится
n
n

25.

5.
n =1
3n 2
.
n!
3(n 1) 2
3n 2
3n 5
un =
, un 1 =
=
,
n!
(n 1)!
(n 1)!
un 1
3n 5
n!
3n 5 n!
= limn
= limn
=
limn
un
(n 1)! 3n 2
n!(n 1) 3n 2
= limn
3n 5 1
1
= limn
= 0 <1
n 1
3n 2 (n 1)
Здесь учтено, что при
n
-- ряд сходится
3n 5
1
1,
0.
n 1
3n 2

26. Радикальный признак Коши

Если в числовом знакоположительном ряде
un
n=1
существует предел корня
n ой рядастепени
из общего члена
при p < 1 ряд сходится
lim n un = q, то при p > 1 ряд расходится
n
при p = 1 вопрос о сходимости
не решен
Радикальный признак Коши применяется для
решения
вопроса о сходимости рядов типа
2
n
n
2n 1
n 1
1
1
n/2
,
,
,
,
arcsin
3n
2n 9 n= 2 ln n n=1 n
n =1 3n 5
n=1

27.

n
3n 2
1. n =1
.
5n 4
n
3n 2 3
3n 2
n
n
= <1
=limn
limn un =limn
5n 4 5
5n 4
-- ряд сходится
n2
3n
2. n =1
.
8n 1
n2
n
3n
3n
n
n
=limn
=
limn un =limn
8n 1
8n 1
n
3
= limn = 0 < 1 -- ряд сходится
8

28.

7 n 5n 1
3. n =1
2
4n 2
2
7 n 5n 1
limn n
2
4
n
2
2
3n 2
3n 2
.
7 n 5n 1
=limn
2
4
n
2
2
3 2/n
3
7
= > 1
4
ряд
расходится.
4.
tg
n =1
2n
1
1
~ n =1
6n 5
6n 5
2n
n
1
= n =1
.
6n 5
n
1
1
n
= 0 <1
= limn
limn un = limn n
6n 5
6n 5
ряд сходится.

29.

1 n
5. n =1 n
5 n 1
1 n
n
limn n
5 n 1
n2
n2
.
n
n
1 n
1 n 1
= limn
= limn
=
5 n 1
5 n
n
1
1 e
= limn 1 = < 1
5
n 5
-- ряд сходится.

30.

2
6. n =1 1
n
3n 2
.
3n 2
3n
2
2
n
limn 1 =limn 1 =
n
n
n
6
2 2
limn 1 =e 6 > 1
n
ряд расходится.

31. Интегральный признак Коши

Если
f (x)
при
x 1
непрерывная, положительная и
монотонно убывающая
непрерывная, положительная и монотонно убывающая
функция такая, что при натуральных значениях аргумента
значения функции совпадают со значениями членов ряда
u = f (1), u2 = f (2), , un = f (n),
u ,
n=1 n т.е. 1
u ,
то ряд
n =1 n сходится, если сходится несобственный интеграл
и расходится, если этот интеграл
f ( x) dx,
расходится.
1
Чтобы составить подынтегральную функцию достаточно заменить
в выражении общего члена ряда
на
n
x
Несобственный интеграл сходится, если он равен конечному
числу и расходится, если равен бесконечности или не
существует.

32.

Интегральный признак Коши
решения
вопроса о сходимости рядов типа
k
1
ln n
n=2 n k n , n=1 n ,
ln
применяется для
n
e
n=1 n ,
sin (1/n)
.
n =1
2
n
(3n 2)
ln
1. n =1
.
3n 2
2
ln (3x 2) dx =1
2
1 3x 2 3 1 ln (3x 2) d (ln(3x 2))=
2
1 ln3 (3x 2)
|1 =
3
3
интеграл и вместе с ним исходный
ряд расходятся.

33.

2.
1
n =1
(n 2) ln5 (n 2)
d (ln ( x 2))
1
=
=
|
1 ( x 2) ln5 ( x 2) 1 ln5 ( x 2) 4 ln 4 ( x 2) 1 =
dx
1
1
= const
4
4 ln 3
-- ряд сходится, так как сходится несобственный интеграл

34.

3.
1
n =1
(2n 1) ln3 (2n 1)
.
1 d (ln (2 x 1) 1
2
1 (2 x 1) ln3 (2 x 1) = 2 1 ln3 (2 x 1) = 2 ln(2 x 1) =
1
1
1
1
=
|1 =
= 0
const
ln (2 x 1)
ln 3
ln 3
dx
-- ряд сходится, так как сходится несобственный интеграл

35.

4.
x
1
e
x
e
n =1
n
n
dx = 2 e
1
.
x
d ( x ) =
2
e
|1 =
x
2 2 2
=
e e
-- ряд сходится, так как сходится несобственный интеграл

36. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Условная и абсолютная сходимости
Знакочередующимся называется числовой ряд, в котором знаки
членов ряда чередуются
n 1
n 1
(
1)
u
=
u
u
u
u
...
(
1)
un
n
1
2
3
4
n =1
Достаточным признаком сходимости таких рядов
является
Признак Лейбница
n 1
Знакочередующийся ряд ( 1) un сходится, если
n=1
n 1
|
(
1)
un |= un
абсолютная величина его членов
монотонно убывает, а предел общего члена равен нулю, т.е.
u1 u2 u3 ... un ...,
и
limn un = 0.
...

37. Абсолютная и условная сходимости

из
О п р е д е л е н и е. Знакочередующийся ряд называют
а б с о л ю т н о сходящимся, если сходится ряд, составленный
абсолютных значений членов данного ряда.
Если же данный ряд по признаку Лейбница сходится, но
ряд из
абсолютных величин его членов расходится, то исходный ряд
называют у с л о в н о сходящимся.
Схема исследования на сходимость знакочередующихся
рядов
1. Проверяем выполнение признака Лейбница, находим limn un .
Если предел общего члена ряда не равен нулю,
limn un 0,
то утверждаем, что ряд расходится.
Если же признак Лейбница выполняется, limn un
то исследуем ряд на абсолютную
сходимость.
= 0,

38.

2. Составляем ряд из абсолютных величин членов данного
знакочередующегося ряда и исследуем сходимость
полученного
знакоположительного ряда с помощью одного
из достаточных признаков сходимости, рассмотренных
выше.
Делаем вывод:
а) если ряд из абсолютных величин сходится, то
исходный
знакочередующийся ряд сходится абсолютно,
сходится
б если ряд из абсолютных величин расходится,
условно.
то исходный знакочередующийся ряд
4n 5
1. n =1( 1)
.
3n 1
n
4n 5
4n 5
= limn
= 4/3 0
limn un = limn ( 1)
3n 1
3n 1
n
Лейбница.
-- ряд расходится, так как не выполняется признак

39.

2. n =1( 1) cos 2 .
n
n
= limn cos = cos 0 = 1 0
limn un = limn ( 1) cos
2n
2n
n
Лейбница.
-- ряд расходится, так как не выполняется признак
( 1) n 1 n 3 5n
3. n =1
.
2n 1
( 1) n 1 n 3 5n
n 3 5n
= limn
= 0
limn un = limn
2n 1
2n 1
Лейбница.
-- ряд расходится, так как не выполняется признак

40.

4.
( 1) n 1
n =1
4 n 3 2n 5
.
( 1) n 1
1
1. limn un = limn
=
=0
4 n 3 2n 5 limn 4 n 3 2n 5
-- ряд
Лейбница.
сходится
по
признаку
2. Проверим сходимость соответствующего знакоположительного
ряда
n=1 4
1
3
n 2n 5
-- ряд расходится.
Вывод:
условно.
1
n =1 3/4
n
исходный ряд сходится

41.

( 1) n 1 n 5
5. n =1 n
.
6 3n 7
( 1) n 1 n 5
n5
1. limn un = limn n
= limn n
=0
6 3n 7
6 3n 7
-- ряд сходится по признаку
Лейбница.
2.
Составляем ряд из абсолютных величин членов
данного
ряда и исследуем его сходимость.
Используем
признак
n5
.
Даламбера.
n =1
6
n
3n 7
un 1
(n 1) 5
6 n 3n 7
=limn n 1
=1/6 < 1
limn
5
un
n
6
3n 10
ряд сходится.
Вывод:
абсолютно.
исходный
ряд
сходится

42.

( 1) n
6. n = 2
.
2
n ln n
1. limn un = limn
1
2
n ln n
= 0,
ряд сходится по признаку Лейбница
Сходимость соответствующего знакоположительного
2.
ряда
проверяем
с помощью интегрального признака
dx
d (ln x)
1
1
1
1
2 x ln3 x = 2 ln2 x = ln x |2 = ln 2 ln 2 const
-- интеграл и ряд сходятся.
Вывод:
исходный ряд сходится
абсолютно.
7. n =1( 1) n 1 1 1 1 1 ...
Этот ряд расходится, так как предел общего члена ряда по абсолютной
величине равен 1
n
(
1
)
= 1 0.
limn

43. Спасибо за внимание