Угол между векторами. Скалярное произведение

1.

2.

Угол между векторами
b
А
В
a
a
b
a b= a
О
Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ.
Градусную меру этого угла
обозначим буквой a
a
Угол между векторами
равен a
aи b

3.

Угол между векторами
b
a
Градусная мера угла a не
зависит от выбора точки О,
от которой откладывают
a
О2
векторы
b
a
a
a
b
О1
aиb

4.

Найти углы между векторами.
f
a
a
d 30
c
b
a b = 300
a c = 1200
d
0
f
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектора называются
перпендикулярными,
если угол между ними равен 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00

5.

№ 1039 Диагонали квадрата пересекаются в точке О.
Найдите углы между векторами.
0
АВ, АС = 45
С
В
0
АВ, DА = 90
OА, OB = 900
О
OА, OС = 180
А
0
D
АC, BD = 90
0
АD, DB = 135
АO, OC = 0
0
0

6.

№ 1040 Диагонали ромба пересекаются в точке О,
диагональ ВD равна стороне ромба.
Найдите углы между векторами.
С
ВDC р / ст
АВ, АD = 60
0
АВ, DА = 120
0
BА, AD = 1200
В
О
D
OC, OD = 90
0
АB, DC = 00
А
АB, CD = 1800

7.

Сумма векторов – вектор.
Разность векторов – вектор.
Произведение вектора на число – вектор.
Скалярное произведение векторов – число.
Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус
угла между ними.
a b = a b cos(a b )

8.

0
a b = 900
b
a b = a b cos 900 = 0
a
a
b
Если векторы
и
перпендикулярны, то
скалярное произведение векторов равно нулю.
a b = 0 , то векторы a и b
Обратно: если
перпендикулярны.
Скалярное произведение ненулевых векторов равно
нулю тогда и только тогда, когда эти векторы
перпендикулярны.
a b =0
a ^b

9.

a b < 900
>0
a b = a b cos a > 0
b
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
положительно тогда и только тогда , когда угол между
векторами острый.
a b > 0 a b < 900

10.

a b > 900
<0
a b = a b cos a < 0
b
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
отрицательно тогда и только тогда , когда угол между
векторами тупой.
a b < 0 a b > 900

11.

Если
a
b
a b = 00
b
1
a b = a b cos 00 = a b
a
b
a
Если
a
b
a b = 1800
-1
a b = a b cos1800 = – a b

12.

a a = 00
a
1
a a = a a cos 00 = a a = a 2
a a называется
скалярным квадратом вектора a и обозначается a 2
Скалярное произведение
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
a2 = a 2

13.

Определите знак
скалярного произведения.
a a > 0
350
c
a c = 0
c b < 0
b
n
a b > 0
a
a n < 0
c n = 0
b n < 0

14.

АВC р / ст., МN средняя линия
В
Найти скалярное произведение векторов
2
M
2
MB cos MN, MB =
= 2 2 cos 60 = 4 1 = 2
2
MN MB = MN
N
0
А
4
С
CA cos MN, CA =
= 2 4 cos 180 = 8 (-1) = –8
MN CA = MN
0
CB cos NM, CB =
= 2 4 cos 60 = 8 1 = 4
2
NM CB = NM
0

15.

Домашнее задание
Задача №1
АВC р / ст., D средина АС
В
Найти скалярное произведение векторов
А
D
CB BC =
AC CB =
AC BD =
CB CB =
4
С

16.

Домашнее задание
Задача №2
Заполните пропуски, чтобы получилось верное
высказывание
А
АС, СВ =
300
АВ, СА =
6
АВ, СВ =
В
С
АВ ВА =
CВ CА =