Скалярное произведение векторов

1.

2.

3.

Угол между векторами
b
А
В
a
a
b
a b= a
О
Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ.
Градусную меру этого угла
обозначим буквой a
a
Угол между векторами
равен a
a
и
b

4.

Найти углы между векторами.
f
a
d 30
b
c
a
a b=
300
a c = 1200
d
0
f
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектора называются
перпендикулярными,
если угол между ними равен 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00

5.

№ 441 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Найдите угол между векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800

6.

j.
№ 442 Угол между векторами АВ и СD равен
Найдите углы между векторами
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C

7.

Сумма векторов – вектор.
Разность векторов – вектор.
Произведение вектора на число – вектор.
Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус
угла между ними.
a b = a b cos(a b )
Скалярное произведение векторов – число (скаляр).

8.

Скалярное произведение в координатах
Скалярное произведение векторов
a {x1; y1 ;z1}
выражается формулой
и
b {x2; y2 ;z2}
a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

9.

Свойства скалярного произведения векторов
a b, c
Для любых векторов
,
справедливы равенства:
1
a 2> 0
2
a b
3
(a + b) c
4
=
и любого числа
k
a 0
,причем
a 2> 0
b a
Переместительный закон
=
при
a c + b c
Распределительный закон
(ka) b = k(a b)
Сочетательный закон

10.

Скалярное произведение в физике
F
j
M
N
Скалярное произведение векторов встречается в физике.
Например, из курса механики известно, что работа A
постоянной силы F при перемещении тела из точки M в
точку N равна произведению силы F и перемещения
MN на косинус угла между ними.
A = F MN cos j
A = F MN

11.

0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Если векторы
и
перпендикулярны, то
скалярное произведение векторов равно нулю.
a b = 0 , то векторы a
Обратно: если
перпендикулярны.
и
b
Скалярное произведение ненулевых векторов равно
нулю тогда и только тогда, когда эти векторы
перпендикулярны.
a b = 0 > a ^ b

12.

a b < 900
a b =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
положительно тогда и только тогда , когда угол между
векторами острый.
a b > 0 > a b < 900

13.

a b > 900
a b =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
отрицательно тогда и только тогда , когда угол между
векторами тупой.
a b < 0 > a b > 900

14.

Если
a
b
a b = 00
b
a
a b =
b
a
a b =
1
a b cos 00 = a b
Если
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b

15.

a a = 00
a
a a =
1
a a cos 00 = a a
Скалярное произведение
a a
скалярным квадратом вектора
=
a
2
называется
a
и обозначается
a2
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
a2
=
a
2

16.

№ 443 АВСDA1B1C1D1 – куб. Найдите скалярное
произведение векторов
AC C A
D B AC
BA BC
D1
AD B1C1
1
1
C1
O1
A1
B1
1
1
a
1
A1O1 A1C1
D1O1 B1O1
BO1 C1B
D
300
A
a
B
C

17.

1. Дано:
b 5;1;0 c 1; 2;1 .
b
с.
Определите вид угла между
векторами
и