Высшая математика. Лекция 1. Понятие о матрице

1. Высшая математика 1 семестр Лекция 1

ЗТЭ-221, ЗЭМ-221
Л.В. Бельгарт
1

2. I семестр

Линейная
алгебра
Векторная алгебра
Аналитическая геометрия
Введение в математический анализ
Дифференциальное исчисление функции
одной переменной
2

3. Литература

Дм.
Письменный, Конспект лекций по
высшей математике – М.: Айрис Пресс, 1
часть.
Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н.,
Шевченко Ю.А., Сборник задач по высшей
математике – М.: Айрис Пресс, 2009. –
1 курс.
3

4. Элементы линейной алгебры

§ 1. Понятие о матрице
Опр.
Числовой матрицей порядка m n
называется прямоугольная таблица чисел,
состоящая из m строк и n столбцов.
4
a11 a12
a
a22
21
A
am1 am 2
a1n
a2 n
;
amn
Am n ai j
i 1, m
j 1, n

5. § 1. Понятие о матрице

i – номер строки,
j – номер столбца,
ai j – элемент матрицы, стоящий
в i -ой строке и j -ом столбце
5

6. § 1. Понятие о матрице

Опр.
Матрица, у которой число строк
совпадает с числом столбцов называется
квадратной.
An n An .
6

7. § 1. Понятие о матрице

7
Элементы главной диагонали
a11 , a22 , a33
Элементы побочной диагонали
a31 , a22 , a13

8. § 1. Понятие о матрице

Опр.
Квадратная матрица называется
диагональной, если элементы,
расположенные вне главной диагонали,
равны нулю.
Пример.
2 0 0
0 5 0 diag 2, 5, 8
0 0 8
8

9. § 1. Понятие о матрице

Опр.
Диагональная матрица называется
единичной, если элементы главной
диагонали равны единице.
Обозначение: E.
Примеры.
1 0 0
1 0
0 1 0 .
E
,
E
0
1
0 0 1
9

10. § 1. Понятие о матрице

Опр.
Матрица называется нулевой,
если все её элементы равны нулю.
Обозначение: O.
Примеры.
0 0
0 0
0 0 0
O
, O 0 0 , O
0
0
0
0
0
0 0
10

11. § 1. Понятие о матрице

Опр.
Квадратная матрица называется
треугольной, если все элементы,
стоящие под главной диагональю,
равны нулю.
Примеры.
11
5 7
0 3 , 0
0 0
, 0
0 0
0 0 0
.

12. Замечания

Матрица так же является треугольной, если
элементы, стоящие над главной диагональю
равны нулю.
В матричном исчислении матрицы O и E
играют такую же роль, как числа 0 и 1 в
арифметике.
Матрица порядка 1 1 , состоящая из одного
числа, отождествляется с этим числом.
12

13. Определение

Матрица, полученная из данной заменой
каждой её строки столбцом с тем же номером,
называется транспонированной.
T
A
.
Обозначение:
Примеры.
2 4 6
B
,
1 3 5
13
2 1
BT 4 3 .
6 5

14. § 2. Определители 2-го и 3-го порядков

1
14
Каждой квадратной матрице ставят в
соответствие число, называемое
определителем или детерминантом.
Обозначения: det A, A , A .
Опр.
Определителем матрицы 2-го
порядка называется число, равное
разности произведений элементов
главной и побочной диагоналей.

15. § 2. Определители 2-го и 3-го порядков

1
a11 a12
Матрица 2-го порядка A2
a
a
21 22
Определитель
Схема
15
det A2 a11a22 a12 a21

16. § 2. Определители 2-го и 3-го порядков

1
Примеры.
2 4
2 4
A
, det A
10 12 2.
3 5
3 5
16

17. § 2. Определители 2-го и 3-го порядков

2
Матрица третьего порядка
a11 a12
A3 a21 a22
a
31 a32
17
a13
a23
a33
1

18. Схема для определителя 3-го порядка

2 Схема для определителя 3-го порядка
18

19. Пример 1

2 Пример 1
Вычислить определитель 3-го порядка
3 2 1
2 4 2
5 8 5
19

20. Пример 1

2 Пример 1
Вычислить определитель 3-го порядка
3 2 1
2 4 2 60
5 8 5
20

21. Пример 1

2 Пример 1
Вычислить определитель 3-го порядка
3 2 1
2 4 2 60 20
5 8 5
21

22. Пример 1

2 Пример 1
Вычислить определитель 3-го порядка
3 2 1
2 4 2 60 20 16
5 8 5
22

23. Пример 1

2 Пример 1
Вычислить определитель 3-го порядка
3 2 1
2 4 2 60 20 16 20
5 8 5
23

24. Пример 1

2 Пример 1
Вычислить определитель 3-го порядка
3 2 1
2 4 2 60 20 16 20 20
5 8 5
24

25. Пример 1

2 Пример 1
Вычислить определитель 3-го порядка
3 2 1
2 4 2 60 20 16 20 20 48
5 8 5
25

26. Пример 1

2 Пример 1
Вычислить определитель 3-го порядка
3 2 1
2 4 2 60 20 16 20 20 48 8
5 8 5
26

27. § 3. Свойства определителей

1 .
При транспонировании определитель
не меняется.
2 . При перестановке двух строк (столбцов)
определитель меняет знак.
3 . Общий множитель какой-либо строки
(столбца) можно выносить за знак
определителя.
27

28. § 3. Свойства определителей

4 .
Определитель равен нулю, если:
– все элементы какой-либо строки (столбца)
равны нулю;
– равны соответствующие элементы двух
строк (столбцов);
– пропорциональны соответствующие
элементы двух строк (столбцов).
28

29. § 3. Свойства определителей

5 .
29
Определитель не изменится, если к
элементам какой-либо строки прибавить
соответствующие элементы другой строки,
умноженные на одно и то же число.

30. § 3. Свойства определителей

Опр.
30
Минором элемента ai j квадратной
матрицы A n-го порядка называется
определитель
(n – 1)-го
порядка,
полученный из матрицы A
путём
вычёркивания строки и столбца, на
пересечении которых стоит этот элемент
(вычёркивается элемент, стоящий в i-ой
строке и в j-ом столбце).
Обозначение: M i j .

31. Пример

M13
31
a11 a12
A3 a21 a22
a
31 a32
a21 a22
a31
a32
a13
a23
a33
1

32. Пример

a11 a12
A3 a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33
a21 a22
a12
M13
, M 21
a31 a32
a32
32
1
a13
a33

33. § 3. Свойства определителей

Опр.
Алгебраическим дополнением
элемента ai j квадратной матрицы A
называется минор со своим знаком, знак
вычисляется по формуле
Ai j 1
33
i j
Mi j.

34. Пример

a11 a12
A3 a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33
a21 a22
a12
M13
, M 21
a31 a32
a32
A13 1
1 3
34
M13 M13 ,
1
a13
a33
A21 1
2 1
M 21 M 21.

35. § 3. Свойства определителей

6 . Определитель
матрицы равен сумме
произведений элементов какой-либо строки
(столбца) на их алгебраические дополнения:
det A ai1 Ai1 ai 2 Ai 2
35
ai n Ai n

36. Пример 1 (другие способы)

Вычислить определитель 3-го порядка,
используя свойства определителей.
3 2 1
2 4 2
5 8 5
36

37. Пример 2 (2-ой способ)

3 2 1
3 1 1
3 1 1
3
3
2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1
5 8 5
5 4 5
5 4 5
4 15 5 4 5 5 12 4 2 8.
37

38. Пример 1 (3-ий способ)

3 2 1
6
2 4 2
5 8 5
38

39. Пример 1 (3-ий способ)

3 2 1
6
2 4 2 a11 A11 a12 A12 a13 A13
5 8 5
39

40. Пример 1 (3-ий способ)

3 2 1
6
2 4 2 a11 A11 a12 A12 a13 A13
5 8 5
4 2
3
8 5
40

41. Пример 1 (3-ий способ)

3 2 1
6
2 4 2 a11 A11 a12 A12 a13 A13
5 8 5
4 2
2 2
3
2
8 5
5 5
41

42. Пример 1 (3-ий способ)

3 2 1
6
2 4 2 a11 A11 a12 A12 a13 A13
5 8 5
4 2
2 2
2 4
3
2
1
8 5
5 5
5 8
42

43. Пример 1 (3-ий способ)

3 2 1
6
2 4 2 a11 A11 a12 A12 a13 A13
5 8 5
4 2
2 2
2 4
3
2
1
8 5
5 5
5 8
3 20 16 2 0 16 20 12 4 8.
43

44. Пример 1 (4-ый способ)

3 2 1 2 5
5
2 4 2
5 8 5
44

45. Пример 1 (4-ый способ)

3 2 1 2 5
5
2 4 2
5 8 5
45
3 2 1
4 8 0
10 18 0

46. Пример 1 (4-ый способ)

3 2 1 2 5
5
2 4 2
5 8 5
3 2 1
6
4 8 0
10 18 0
a13 A13 a23 A23 a33 A33 a13 M13
4 8
1
72 80 8
10 18
46

47. Замечание

Вычисление определителей 4-го и более
высоких порядков с помощью свойств 5º и 6º
сводится к вычислению определителей 3-го
порядка.
47

48. § 4. Системы линейных уравнений (СЛУ)

48

49. Определение

Уравнение называется линейным, если
оно содержит неизвестные в 1-ой степени
Пример. 2 x 5 y 7 z 8 – линейное
уравнения с тремя неизвестными
49

50. § 4. Системы линейных уравнений (СЛУ)

Рассмотрим систему, содержащую m
линейных уравнений с n неизвестными
a11 x1 a12 x2
a x a x
21 1 22 2
am1 x1 am 2 x2
50
a1n xn b1
a2 n xn b2
am n xn bm
2

51. Определения

51
Решением системы (2) называется
набор чисел x1 , x2 , , xn удовлетворяющих
всем уравнениям одновременно.
Решить систему (2) – значит найти
все решения.
Система (2) называется совместной,
если она имеет хотя бы одно решение,
и несовместной, если она не имеет ни
одного решения

52. Определения

Совместная система называется
определённой, если она имеет
единственное решение,
и неопределённой, если она имеет
бесконечно много решений.
52

53. Определения

Рангом матрицы называется наивысший
порядок отличного от нуля минора.
Примеры. Найти ранг матрицы
1)
53
1 2
A
;
3 6
1 1 1 0,
1 2
2
6 6 0
3 6
rang A r A 1.

54. Определения

Рангом матрицы называется наивысший
порядок отличного от нуля минора.
Примеры. Найти ранг матрицы
2 3 4
2) B
;
4 6 5
54

55. Определения

Рангом матрицы называется наивысший
порядок отличного от нуля минора.
Примеры. Найти ранг матрицы
2 3 4 1 2 2 0,
2) B
;
4 6 5
55

56. Определения

Рангом матрицы называется наивысший
порядок отличного от нуля минора.
Примеры. Найти ранг матрицы
2 3 4 1 2 2 0,
2) B
;
4 6 5 2 3 12 12 0,
2
4 6
56

57. Определения

Рангом матрицы называется наивысший
порядок отличного от нуля минора.
Примеры.
1 2 2 0,
2 3 4
2) B
;
2 3
12 12 0,
4 6 5 2
4 6
2 4
2
10 16 6 0,
4 5
57

58. Определения

Рангом матрицы называется наивысший
порядок отличного от нуля минора.
Примеры.
1 2 2 0,
2 3 4
2) B
;
2 3
12 12 0,
4 6 5 2
4 6
2 4
2
10 16 6 0, r B 2.
4 5
58

59. Примеры. Найти ранг матрицы

1 2 3
3) C 5 4 7 ;
4 2 4
1 1 1 0,
1 2
2
4 10 6 0,
5 4
3 16 56 30 48 14 40 0
r C 2.
59

60. § 4. Системы линейных уравнений (СЛУ)

2 Из системы (2) образуем две матрицы:
1) состоящую из коэффициентов при
неизвестных
a11 a12
a
a22
21
A
am1 am 2
60
a1n
a2 n
amn
основная
матрица
системы

61. § 4. Системы линейных уравнений (СЛУ)

2 Из системы (2) образуем две матрицы:
2) к основной матрице добавим столбец
свободных членов
a11 a12
a21 a22
A
am1 am 2
61
a1n b1
a2 n b2
amn bm
расширенная
матрица
системы

62. Теоремы

2 Теоремы
Система линейных уравнений совместна
т. и т. т., к. ранг расширенной матрицы
равен рангу основной матрицы.
2. Если ранг совместной системы равен
числу неизвестных, то СЛУ определённая.
3. Если ранг совместной системы меньше
числа неизвестных, то СЛУ неопределённая.
1.
62

63. Спасибо за внимание

и попытку понимания
63