Модели скользящего среднего порядка q (МА(q)). Лекция 4 (часть 2)

1. Лекция 4 (часть 2)

Модели скользящего
среднего порядка q (МА(q))

2. Цель лекции

Цель лекции - формирование теоретических
знаний о моделях стационарных временных рядов
позволяющих
прогнозировать
соиальноэкономические
явления
и
процессы
на
краткосрочную
перспективу,
а
также
формирование навыков реализации указанных
моделей и методов в пакетах прикладных
программ
2

3. План лекции

1.
Общий вид модели. Условие обратимости модели
скользящего среднего
2.
Свойства процесса СС
3.
Оценивание параметров модели скользящего
среднего
4.
Прогнозирование по модели СС
3

4. Реализуемые компетенции

ОПК-1 готовностью к самостоятельной работе
ОПК-2 способностью использовать современные математические методы и
современные прикладные программные средства и осваивать современные технологии
программирования
ПК-1 способностью использовать стандартные пакеты прикладных программ для
решения практических задач на электронных вычислительных машинах, отлаживать,
тестировать прикладное программное обеспечение
ПК-9 способностью выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в
ходе профессиональной деятельности, готовностью использовать для их решения
соответствующий естественнонаучный аппарат
ПК-10 готовностью применять математический аппарат для решения поставленных
задач, способностью применить соответствующую процессу математическую модель и
проверить ее адекватность, провести анализ результатов моделирования, принять
решение на основе полученных результатов
ПК-11 готовностью применять знания и навыки управления информацией
ПК-12 способностью самостоятельно изучать новые разделы фундаментальных наук
4

5. 1 Общий вид модели. Условие обратимости модели скользящего среднего

Пусть
наблюдается
ряд y1, N у1 ,..., у N
(ему
апостериорный
соответствует
стационарный
1, N 1 ,..., N
-
временной
априорный
временной ряд). Рассматриваемый ряд может быть стационарным по трем
«причинам»:
1.
Ряд
стационарен
изначально,
что
соответствует
характеру
исследуемого процесса (примером могут служить ряды динамики валютных
курсов и ценных бумаг в некоторые промежутки времени в условиях
стабильности экономики).
2. Ряд является искусственно приведенным к стационарному виду
путем соответствующей операции (взятия разности или аналитического
выражения и вычитания детерминированного тренда).
3. Ряд представляет собой ряд автокоррелированных остатков z i
регрессионной
моделировании.
модели,
которые
нуждаются
в
дополнительном
5

6. 1 Общий вид модели. Условие обратимости модели скользящего среднего

РАЗЛОЖЕНИЕ (ТЕОРЕМА) ВОЛЬДА. Общий линейный процесс,
представимый в виде взвешенной суммы настоящего и прошлых значений
стационарного процесса с нулевым математическим ожиданием.
t 1
t m t , t ,
(1)
0
где m - математическое ожидание процесса, t - белый шум.
Вольд доказал, что чисто недетерминированный стационарный в широком
смысле случайный процесс может быть представлен в виде линейной
комбинации белых шумов, с разными весовыми коэффициентами вида (1).
Так как это выражение линейное, то его часто называют линейным
фильтром.
6

7. 1 Общий вид модели. Условие обратимости модели скользящего среднего

1. Чтобы выражение, определяющее декомпозицию, имело смысл,
необходимо выполнение условия .
0
2. Поскольку реализации белого шума не наблюдаемы, весовые
коэффициенты определены с точностью до множителя, поэтому считают, что
0 1.
7

8. 1 Общий вид модели. Условие обратимости модели скользящего среднего

Определение.
Стохастический
процесс
называется
процессом
скользящего среднего порядка q, если в разложении Вольда присутствует
только q слагаемых.
Обозначения: скользящее среднее – СС(q) или moving average - MA(q)
Модель:
q
СС(q): t t t 1 t 1 2 t 2 .... q t q
(2)
0
Название скользящего среднего определяется тем, что текущее
значение процесса определяется взвешенным средним q предыдущих
значений белого шума.
8

9. 1 Общий вид модели. Условие обратимости модели скользящего среднего

Модель скользящего среднего первого порядка CC(1) имеет вид:
t t 1 t 1
(3)
Модель скользящего среднего второго порядка CC(2):
t t 1 t 1 2 t 2
(4)
В дальнейшем, для удобства, будем рассматривать модель в записи (2), без
свободного параметра
9

10. 1 Общий вид модели. Условие обратимости модели скользящего среднего

Введем в рассмотрение оператор сдвига L такой, что Lq t t q . Тогда
модель (2) можно представить в виде:
t L0 t 1 L1 t .... q Lq t L0 1 L1 .... q Lq t q L t ,
где
L L .... L L
q
1
0
1
q
q
называют
(5)
операторным
(характеристическим) полиномом.
10

11. 1 Общий вид модели. Условие обратимости модели скользящего среднего

Действия над операторными полиномами:
1.
Суперпозиция. Если мы сможем представить операторный
полином L0 1 L1 2 L2 .... q Lq в виде сомножителей, то действие на ряд t
этого произведения эквивалентно действию на ряд t исходного полинома.
2.
Обратный оператор. Определим обратный оператор так, чтобы
суперпозиция оператора и обратного к нему была эквивалентна единичному
оператору:
L t t , то L 1 t L 1 L t t .
(6)
11

12. 1 Общий вид модели. Условие обратимости модели скользящего среднего

Процесс скользящего среднего стационарен при любых значениях
коэффициентов по определению. В модели СС t q L t посредством
операторного полинома q L ряд t выражается через t .
Выясним, когда t можно выразить через t посредством обратного
оператора, то есть когда выполняется условие обратимости
t q L t
1
(7)
12

13. 1 Общий вид модели. Условие обратимости модели скользящего среднего

Любой полином степени q с действительными коэффициентами имеет
q комплексных корней, среди которых могут быть равные по величине,
операторный полином (многочлен) можно разложить на множители (зная эти
корни):
q
q ( L) 1 i L
(8)
i 1
где i - корни характеристического уравнения
q 1 q 1 2 q 2 .... q 0 .
(9)
Тогда процесс t можно представить в виде:
q
t 1 i L t
(10)
i 1
13

14. 1 Общий вид модели. Условие обратимости модели скользящего среднего

Чтобы
выразить
t
из
(10)
должен
существовать
обратный
операторный полином
q L 1
1
q
(1 L)
.
(11)
i
i 1
Получим:
t
1
q
1 L
i 1
t
(12)
i
14

15. 1 Общий вид модели. Условие обратимости модели скользящего среднего

Если все корни характеристического уравнения действительны и
различны, то операторную дробь, знаменатель которой разложен на
произведение
одночленов
первой
степени
относительно
L,
можно
представить в виде суммы элементарных дробей:
A1
Aq
A2
...
t q
t
t
1
L
1
L
1
L
1
2
q
1 L
1
i 1
Здесь на
(13)
i
Ai
- можно смотреть как на сумму бесконечно убывающей
1 iL
геометрической прогрессии с первым членом A i и знаменателем i L ,
причем должно выполняться i 1.
15

16. 1 Общий вид модели. Условие обратимости модели скользящего среднего

t A1 1 1 L 1 L 2 ... 1 L k ... A2 1 2 L 2 L 2 ... 2 L k ... ....
Aq 1 q L q L ... q L ... t =
2
k
(14)
t A1 A1 1 L A1 ( 1 L) 2 ... A1 ( 1 L) k ... A2 A2 2 L ... Aq Aq q L ... ] t
[( A1 .... Aq ...) ( A1 1 A2 2 ... Aq q ...) L ... ( A1 1k ... Aq qk ...] t
c0
c1
ck
Получили некоторый многочлен от L, коэффициенты которого
выражаются через характеристические корни 1 , 2 ,..., q :
t q
t c0 c1 L c2 L2 ... ck Lk ... t .
1
1 L
(15)
i
i 1
16

17. 1 Общий вид модели. Условие обратимости модели скользящего среднего

Определение. Все корни характеристического уравнения 1 , 2 ,..., q по
модулю должны быть строго меньше единицы (лежать внутри единичного
круга), в этом случае процесс скользящего среднего обладает свойством
обратимости.
Замечание. В литературе может быть использован другой вид записи
характеристического уравнения, тогда условие обратимости требует, чтобы
все корни z1 , z 2 ,..., z q характеристического уравнения 1 1z 2 z 2 .... q z q 0 по
модулю должны быть строго больше единицы (лежать вне единичного круга)
17

18. 2 Свойства процесса скользящего среднего

Запишем
среднего.
Формула
СС(q): t t 1 t 1 2 t 2 .... q t q
(2)
модель
скользящего
(2)
без
свободного параметра:
Найдем математическое ожидание и дисперсию, учитывая свойства
белого шума.
Самостоятельно.
18

19. 2 Свойства процесса скользящего среднего

Математическое ожидание процесса скользящего среднего:
M ( t ) M ( t 1 t 1 2 t 2 .... q t q ) 0
(16)
Следует отметить, что математическое ожидание будет равно 0 , в случае не
центрированных данных.
Дисперсия процесса скользящего среднего:
D( t ) D( t 1 t 1 .... q t q ) 2 12 2 ... q2 2
q
q
(1 )
2
i 1
2
i
2
i 0
2
i
(17)
Таким образом, математическое ожидание и дисперсия не зависят от
времени t.
19

20. 2 Свойства процесса скользящего среднего

Найдем автоковариационную функцию:
Запишем модель (2) для момента t :
t t 1 t 1 2 t 2 .... q t q
(18)
Перемножим (2) и (18) и возьмем математическое ожидание:
M ( t t ) M [( t 1 t 1 2 t 2 .... q t q ) *
( t 1 t 1 2 t 2 .... q t q ) ]=
(19)
Учитывая, что ряд стационарный и 0 t 1 t записать (на доске)
полученный результат для 0,1,..., q, q 1,...
20

21. 2 Свойства процесса скользящего среднего

(0) D( t )
(1) 2 1 2 1 2 ... 2 q q 1
(2) 2 2 2 1 3 ... 2 q q 2
(20)
…
( q) 2 q
(q 1) 0
…
То есть
q
M ( t t ) i i
2
(21)
i 1
для 0,1,..., q и равна нулю для q 1, q 2...
21

22. 2 Свойства процесса скользящего среднего

Записать элементы автокорреляционной функции
для 0,1,...,q, q 1, q 2...
22

23. 2 Свойства процесса скользящего среднего

Запишем члены автокорреляционной функции для СС(q):
q 1
i i 1
r (1) i 0 q
2
i
i 0
q 2
i i 2
i 0
r (2) q 2
i
... i 0
...
q
r (q) q
2
i
i
0
r (q 1)
0
r (q 2)
0
...
...
(22)
23

24. 3 Оценивание параметров модели скользящего среднего

1. Метод оценивания параметров модели СС «процедура поиска на
сетке».
Так как рассматриваемый временной ряд является стационарным, то
его среднее постоянно 0 const . Порядок модели скользящего среднего
устанавливается предварительно на основе анализа оценки АКФ и ЧАКФ.
Первый уровень можно записать как:
1 0 1 .
(23)
y1 y z1 .
(24)
Его реализация:
Второй уровень ряда:
2 0 2 1 1 ,
(25)
q-ый уровень ряда:
q 0 q 1 q 1 ... q 1 1
24

25. 3 Оценивание параметров модели скользящего среднего

q 1 0 q 1 1 q ... q 1
(27)
q k 0 q k 1 q k 1 ... q k
(28)
…
…
Из выражений (23)-(28) находят значения остатков для фиксированных
значений
параметров
модели.
Те
значения
параметров,
которые
обеспечивают минимум суммы квадратов остатков, и будут приняты за
окончательные. Значения параметров перебирают так, чтобы выполнялось
условие обратимости.
25

26. 3 Оценивание параметров модели скользящего среднего

2. Точный метод максимального правдоподобия при оценивании
параметров модели СС. На примере СС(1)
Модель СС(1):
t t 1 t 1
(29)
уt zt 1 zt 1 .
(30)
Ее оценка:
Рассматривая апостериорный временной ряд
y1, N y1 ,..., y N как
T
реализацию N-мерного гауссовского процесса и с учетом того, что
1 1 2
,
0, 1
(31)
26

27. 3 Оценивание параметров модели скользящего среднего

можем записать совместную плотность распределения (функцию
правдоподобия)
по
формуле
плотности
многомерного
нормального
распределения:
L y1, N , 1 2
N
2
1
2
1
T
exp
y
2
1
2
y
,(32)
где - это ковариационная матрица
1 12 1
0
2
1
1
1
1
2 0
1
1 12
0
0
0
0
0
0
.
1 12
Далее обычно переходят к логарифму функции правдоподобия.
(33)
27

28. 3 Оценивание параметров модели скользящего среднего

3.Условный метод максимального правдоподобия оценки параметров
модели СС.
Рассмотрим модель СС(1). Логарифм функции правдоподобия будет
иметь вид:
N
N
t 2
усл
2
ln L
ln 2
(34)
2 ,
2
2
t 1
где z 0 , z e ˆ 0 , z e ˆ z и т.д.
1
0
1
1
2
2
1
1
Для СС(q):
N
N
2
ln L ln 2 t 2 ,
2
t 1 2
усл
2
(35)
где z 0 0, , …,
zt e2 ˆ1 zt 1 ˆ2 zt 2 ... ˆq zt q
и т.д.
(36)
28

29. 4 Прогнозирование по модели скользящего среднего

Модель СС(q) обладает конечной памятью. Поясним это на примере
СС (2).
Прогноз на 1 шаг вперед находим как:
y N 1 ˆ1 z N ˆ2 z N 1
(37)
y N 2 ˆ1 * 0 ˆ2 z N ˆ2 z N
(38)
y N 3 ˆ1 * 0 ˆ2 0 0
(39)
На 2 шага вперед
На 3 шага
Таким образом, если данные центрированы, то с шага q+1 прогноз
равен 0. Если есть В0, то прогноз с q+1 шага равен В0, то есть равен среднему
уровню ряда.
29

30. 4 Прогнозирование по модели скользящего среднего

Интервальный прогноз
Дисперсия ошибки прогноза на 1 шаг вперед:
D N 1 ˆ N 1 D N 1 1 N 2 N 1 ... q N q 1 1 N 2 N 1 ... q N q 1
D N 1
2
(40)
На два шага вперед:
D N 2 ˆ N 2 D N 2 1 N 1 2 N ... q N q 2 2 N ... q N q 1
D N 2 1 N 1 (1 )
2
2
1
(41)
На три шага:
D N 3 ˆ N 3 2 1 12 22 .
(42)
И так далее
D N q ˆ N q 2 1 12 ... q2 1 ,
(43)
D N q 1 ˆ N q 1 2 1 12 ... q2 ,
D N q 2 ˆ N q 2 2 1 12 ... q2 .
(44)
(45)
30

31. 4 Прогнозирование по модели скользящего среднего

Для
удобства
оценку
дисперсии
ошибки
прогноза
D N L ˆ N L 2 1 12 ... q2 , L=1,….,q,q+1… обозначим
2
S пр S 2 1 ˆ12 ... ˆq2 ,
(46)
где S 2 - значение выборочной остаточной дисперсии.
При прогнозировании на период q+1 и далее, дисперсия прогноза
становится неизменной. Если остатки модели СС(q) – нормальный белый
шум, то можем построить доверительный интервал прогноза:
t t ˆt ~ N 0; D t ˆt
(47)
31

32. 4 Прогнозирование по модели скользящего среднего

Случайная величина U распределена по стандартному нормальному
закону:
U=
t ˆt
~ N 0;1 .
D t ˆt
(48)
Из уравнения P(U ) определим Ф 1 ( ) . Доверительный
интервал прогноза на период упреждения L:
yˆ N L S пр N L yˆ N L S пр .
(49)
32

33. Задание на практическое занятие

1. Записать АКФ для СС(1) и СС(2)
2. Рассмотреть процедуру поиска
параметров на сетке для СС(2).
33

34. Задание на лабораторную работу

Сгенерировать процесс СС(1) со свободным
параметром равным 10 и параметром 0,5.
Оценить АКФ и ЧАКФ, полученного ряда
34

35. Литература к лекции

Канторович, Г. Г. Анализ временных рядов//
Экономический журнал ВШЭ– 2002 г. – №1, с.85-116.
Чураков Е.П. Математические методы обработки
экспериментальных данных в экономике: Учеб.пособие.
– М.: Финансы и статистика, 2004.
Чураков Е.П. Прогнозирование эконометрических
временных рядов: Учебное пособие -М.: Фин. и стат.,
2008.(Заказ-2008).
Лукашин, Ю. П. Адаптивные методы
краткосрочного прогнозирования временных
рядов [Текст] : учеб. пособие для вузов / Ю. П.
Лукашин. - М. : Финансы и статистика, 2003. - 416 с.
35