Связь напряженности и потенциала

1.

Связь напряженности и
потенциала
Пусть пробный заряд
переместился из точки с
потенциалом 1 в точку
с потенциалом 2 на
малое перемещение d .
2
1
qпр
d

2.

Работа кулоновской силы над зарядом
dA = F d qE d
равна убыли его потенциальной энергии
-dWП = -q d

3.

Приравняем
dA = -dW П
qE d = -q d
и поделим на пробный заряд q:
d E d E d

4.

Компонента напряженности поля в
каком-либо направлении l по
модулю равна производной
потенциала по этому направлению.
E

5.

В потенциальном поле сил:
F gradWП
Опять делим на пробный заряд.

6.

F
E
q
WП
q

7.

E grad
или
E

8.

grad i
j
k
x
y
z
Значит
Ex
, Ey
, Ez
x
y
z

9.

Проведем оси координат так, чтобы две
из осей (y и z) шли по касательной к
эквипотенциальной поверхности, а
третья (x) была перпендикулярна к ней.
2
x
1
n
z
n - единичный вектор
нормали к
эквипотенциальной
q
поверхности.
Направлен в сторону
увеличения потенциала.
y

10.

По осям y и z потенциал не
меняется, и производные
по у и z равны нулю.
Не равна нулю только
d
x dn

11.

d
grad
n
dn
d
E n
dn

12.

Три формулы, связывающие
напряженность и потенциал:
d E d
E grad
d
E n
dn

13.

Выводы:
1. Силовые линии
перпендикулярны
эквипотенциальным
поверхностям.

14.

2. Вектор градиента
направлен в сторону
максимального роста
потенциала, а вектор
напряженности – в
противоположную.

15.

3. По модулю оба
вектора равны
изменению потенциала
на единицу длины
силовой линии.