Определители. Способы их вычисления. Тема 2

1.

Тема 2. «Определители. Способы их вычисления.»
Основные понятия:
• Понятие определителя
• Вычисление определителей
• Свойства определителей
• Миноры и алгебраические дополнения

2.

Любой квадратной матрице n-го порядка ставится в
соответствие по определенному закону некоторое
действительное число, называемое определителем
или детерминантом n-го порядка.
Вычисление определителя 1-го порядка:
À a11 ,
A a11
Вычисление определителя 2-го порядка:
a11 a12
À
,
a21 a22
A a11 a22 a21 a12

3.

Вычисление определителя 3-го порядка (правило
треугольника или правило Саррюса):
a11 a12 a13
À a21 a22 a23 ,
a
a
a
33
31 32
A a11 a22 a33 a13 a21 a32 a31 a12 a23
a31 a22 a13 a11 a32 a23 a33 a21 a12

4. Способ полосок

5.

Рассмотрим определитель n-го порядка.
Выделим в нем какой-либо элемент
строку и j-ый столбец.
aij
и вычеркнем i-ю
Полученный определитель (n-1)-го порядка называется
минором M ij
Алгебраическим дополнением элемента
называется число
Aij 1
i j
M ij
aij

6.

Вычисление определителя n-го порядка
Теорема Лапласа. Выберем в определителе n-го порядка
произвольно k строк (или k столбцов), 1 k n 1
Тогда значение определителя n-го порядка есть сумма
произведений всех миноров k-го порядка, расположенных в
выбранных строках (столбцах) , на их алгебраические
дополнения.
Пример
5
7
À
2
3
4 15 1
6 9 8
,
1 2 1
1 2 2
A det A 49

7.

Теорема. Каков бы ни был номер строки i (i=1,2,…,n), для
определителя n-го порядка справедлива формула
n
det A 1
k 1
i k
n
aik M ik
или
det A aik Aik
k 1
называемая разложением этого определителя по i-й строке.
Теорема. Каков бы ни был номер столбца k (k=1,2,…,n), для
определителя n-го порядка справедлива формула
n
n
i k
det A 1 aik M ik или
det A aik Aik
i 1
i 1
называемая разложением этого определителя по k-му столбцу.

8.

Свойства определителей:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Определитель не изменится при замене всех его строк
соответствующими столбцами.
При перестановке двух столбцов (строк) определитель
меняет знак.
Множитель, общий для элементов некоторого столбца
(строки), можно выносить за знак определителя.
Определитель с двумя одинаковыми столбцами
(строками) равен нулю.
Определитель равен нулю, если все элементы
некоторого столбца (строки) равны нулю.
Определитель с двумя пропорциональными столбцами
(строками) равен нулю.

9.

à11 à12
0 à22
... ...
0
0
... à1n
... à2 n
a11 a22 ... ann
... ...
... ànn
à11 ... à1( n 1)
à21 ... à2( n 1)
... ...
...
àn1 0
...
à1n
0
a1n a2( n 1) ... an1
...
0