Неопределенный интеграл

1.

Математика 2
Неопределенный интеграл
Лектор:
доцент отделения математики и информатики
Имас Ольга Николаевна

2.

Раздел 1. НЕОПРЕДЕЛННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Опр. 1
F(x), определенная на интервале ( a, b), называется
первообразной для f ( x ), если ∀x ∈ ( a, b) выполняется
F '(x) = f (x)
Функция
ТЕОРЕМА.1 (свойство первообразной)
Если в некотором конечном или бесконечном интервале D функция F(x)
является первообразной для функции f (x), то F(x)+С (С – const) тоже
первообразная.
Обратно. Каждая первообразная
для f (x) может быть представлена в форме
.
F(x)+С.
Опр. 2.
Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенной на
интервале (a, b) называется неопределенным интегралом от функции f(x).
Обозначают:
f ( x)dx
x – переменная интегрирования
f(x) – подынтегральная функция;
f(x)dx – подынтегральное выражение;
– знак интеграла.

3.

Основные свойства неопределенного интеграла
1. f ( x) dx f ( x)
2. d f ( x) dx f ( x)dx
3. dF ( x) F ( x) C
4. f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
5. k f ( x) dx k f ( x) dx
1
6. f (ax b) dx F (ax b) C
a

4.

Таблица интегралов
n 1
x
1. x n dx
C
n 1
1(a). dx x C
1(b).
dx
2 x C
x
dx
2.
ln | x | C
x
3. sin x dx cos x C
ax
7. a dx
C
ln a
x
7(a). e dx e C
x
8.
x
12. sh x dx ch x C
13. ch x dx sh x C
dx
14. 2 th x C
dx
1
x
ch x
arctg
C
dx
a
a2 x2 a
15. 2 cth x C
sh x
dx
arctg x C
8(a).
arcctg x C 16.
tg x dx ln | cos x | C
dx
x
9.
arcsin C 17. ctg x dx ln | sin x | C
a
a2 x2
1 x2
dx
x
4. cos x dx sin x C
dx
arcsin x C
18.
ln
|
tg
| C
9(a).
2
sin x
2
1 x arccos x C
dx
5.
tgx C
dx
x
dx
1 a x
2
19.
ln
|
tg
10. 2 2 ln
C
| C
cos x
cos x
2 4
a x 2a a x
dx
dx
2
2
6.
ctgx
C
11.
ln(
x
x
a
) C
2
2
2
sin x
x a

5.

Методы интегрирования
1. Табличное интегрирование
2. Метод подведения под знак дифференциала (подстановки)
ТЕОРЕМА 2.
Пусть требуется найти
f ( x)dx , где первообразная не табличная
Пусть x=j(t), j(t) – непрерывная функция с непрерывной производной,
имеющая обратную функцию.
Тогда
f ( x)d x f j (t ) j (t )d t
Подведение под знак дифференциала
Вспомним определение дифференциала: dj(t)= j ′(t)dt
d j(t )
f (j(t ))j (t )dtj(t )
Тогда
dt
Выразим dt:
j (t )
Пример.
j (t )
f (j)ddtj
t ln | t | C
sin xdx sin xd cos x
sin xd cos x
d cos x
cos x cos x (cos x) cos x ( sin x) cos x ln | cos x | C

6.

Замена переменной
Интегрирование квадратных трехчленов

7.

3. Интегрирование по частям
ТЕОРЕМА 3.
Пусть U(x) и V(x) две дифференцируемые функции
UdV UV VdU
Тогда
Удобно все интегралы, которые нужно брать по частям, разбить на 3 группы
I.
II.
p ( x) cos xdx
p ( x) sin xdx
p ( x)e dx
pn ( x)a x dx
n
n
x
III. (циклический)
ln x P ( x)dx
arctgx P ( x)dx
arcsin x P ( x)dx
n
n
a sin nx dx
a m x cos nx dx
mx
n
n
U
dV
U
dV
U=amx
U=sin(nx)

8.

4. Интегрирование рациональных дробей
ОПР. 3
Рациональной дробью (дробно-рациональной функцией) называется
частное от деления двух целых рациональных функций
Q( x) a0 x n a1 x n 1 ... an
P( x) b0 x m b1 x m 1 ... bm
Если n<m, то
дробь правильная
Теорема 4. Всякий многочлен n-ой степени разлагается на n линейных
множителей и множитель – коэффициент при xn .
Теорема 5. Многочлен Pn не может иметь более чем n различных
корней. Если корни повторяются, то их объединяют и говорят, что
x=xi – корень кратности k.

9.

Теорема 6. Если среди корней есть мнимые, то они обязательно
сопряженные и множитель, за счет которого образуются мнимые
корни, можно оставлять в виде квадратного трехчлена x2+px+q.
Таким образом, для любого P(x) можно записать:
P( x) ( x x1 )k1 ( x x2 )k2 ...( x2 p1x q1 )m1 ...( x2 ps x qs )ms
ОПР. 4
Простейшими
(элементарными)
следующего вида
A
x x1
A
x x1 m
дробями
Ax B
x 2 px q
называются
дроби
Ax B
x px q
2
m

10.

ТЕОРЕМА 7.
Всякая правильная рациональная дробь
Q( x)
может быть
P( x)
представлена в виде суммы конечного числа элементарных дробей,
вид которых определяется разложением на множители знаменателя
P( x) ( x x1 )k1 ( x x2 )k2 ...( x2 p1x q1 )m1 ...( x2 ps x qs )ms
B1
Ak1
Bk 2
A2
B2
Q( x) A1
...
...
...
2
k1
2
k2
P( x) x x1 x x1
x x1 x x2 x x2
x x2
M x N
M m1 x N m1
M 2 x N2
1
1
...
2
...
2
m1
2
2
x p1 x q1
x p1 x q1
x p1 x q1
F x G
Fms x Gms
F2 x G2
1
1
2
...
2
ms
2
2
x ps x qs x ps x qs
x ps x qs
A1, A2 ,..., Ak1 , B1, B2 ,..., Bk2 , M1, ..., M m1 , N1,...,Gms - неопределенные коэффициенты

11.

Порядок действий при вычислении интеграла от рационального
выражения
1. Выделить целую часть (сделать дробь Q(x)/P(x) правильной)
2. Разложить знаменатель на множители.
3. Записать дробь в виде суммы простейших дробей.
4. Определить коэффициенты
5. Проинтегрировать

12.

5. Интегрирование тригонометрических выражений
Будем использовать запись интеграла от тригонометрических
выражений
R(sin x, cos x)dx
это означает, что над синусом и косинусом проведены только
рациональные операции (+, –, ., : , ^ ).
Универсальная тригонометрическая подстановка
Выразим x и получим
tg(x/2)=t.
2 dt
x 2arctgt dx
1 t 2
sin x
2t
1 t
2
cos x
1 t2
1 t2

13.

Более простые методы используются в следующих случаях:
1. sin kx cos mxdx , cos kx cos mxdx , sin kx sin mxdx
Следует использовать формулы:
1
sin k x cos l x sin( k l ) x sin( k l ) x
2
1
sin k x sin l x cos( k l ) x cos( k l ) x
2
1
cos k x cos l x cos( k l ) x cos( k l ) x
2
2. Интегралы вида
n
sin
x dx
n
cos
x dx
n
m
sin
x
cos
x dx
а) n – четное ⇒ понизить степень:
1
1
2
2
sin x (1 cos 2 x)
cos x (1 cos 2 x)
2
2
б) n – нечетное ⇒ отделить одну нечетную степень, взять кофункцию
в качестве новой переменной.

14.

3. R (sin x, cos x)dx
а) подынтегральная функция нечетна относительно синуса
R( sin x, cos x)dx R(sin x, cos x)dx
Рекомендуемая подстановка:
cos x = t
б) подынтегральная функция нечетна относительно косинуса
R(sin x, cos x)dx R(sin x, cos x)dx
Рекомендуемая подстановка:
sin x = t.
в) подынтегральная функция четная относительно синуса и
косинуса
R( sin x, cos x)dx R(sin x, cos x)dx
Рекомендуемая подстановка:
tgx t dx
dt
;
2
1 t
2
t
1
2
2
sin x
; cos x
2
1 t
1 t2

15.

4. Интегралы вида
ctg x dx (n 0)
tg n x dx
n
dt
1 t2
dt
ctgx t dx
1 t2
а) Рекомендуемая подстановка
tgx t dx
б) применить формулы
1
tg x sec x 1
1
2
cos x
1
2
2
ctg x co sec x 1
1
2
sin x
2
2

16.

6. Интегрирование иррациональных выражений
1. R( x, x 2 px q )dx
Выделить полный квадрат в x 2 px q
Рекомендуемая подстановка:
2. R( x, a 2 x 2 )dx
x a sin t dx a cos t dt
a dt
cos 2 t
R( x, a x )dx
x a tg t dx
R( x, x a )dx
a
sin t dt
x a sec t
dx a
cos t
cos 2 t
2
2
2
2

17.

3. R( x , x , x ,...)dx
x t
s
, , …– дробные рациональные числа,
s – наименьшее общее кратное , ,
ax b ax b ax b
4. R( x,
,
,
,...)dx
cx d cx d cx d
, , …– дробные рац. числа,
ax b s
t
cx d
s – наименьшее общее кратное , ,

18.

5. Дифференциальный бином
ОПР. 5 Выражение вида x m ( a bx n ) p , где (m,n,p,a,b) – const,
называется дифференциальным биномом.
Теорема 8. (Чебышева)
m
n p
x
(
a
bx
) dx (m,n,p ∈ Q) выражаются в конечном
Интегралы
виде через элементарные функции, если оказывается целым одно
из чисел:
1) p ∈Z
подстановка
x = ts
(s – наименьшее общее кратное знаменателей m и n)
m 1
2)
n
Подстановка a bx
m 1
3)
p
n
a bx n s
t , где s – знаменатель p
Подстановка
n
x
n
t s, где s – знаменатель p

19.

Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
e
x2
dx
– интеграл Пуассона.
sin x
x dx si( x)
cos x
x dx co( x)
– интегральный синус.
– интегральный косинус.
ex
dx
x
dx
ln x li( x)
– интегральный логарифм.
– эллиптические интегралы
R( x, ax bx cx dx e )dx
R( x, ax3 bx 2 cx d )dx
4
3
2