Определенный интеграл. Основные понятия

1.

5. Дифференциальный бином
ОПР. 5 Выражение вида x m ( a bx n ) p , где (m,n,p,a,b) – const,
называется дифференциальным биномом.
Теорема 8. (Чебышева)
m
n p
x
(
a
bx
) dx (m,n,p ∈ Q) выражаются в конечном
Интегралы
виде через элементарные функции, если оказывается целым одно
из чисел:
1) p∈Z
подстановка
x = ts
(s – наименьшее общее кратное знаменателей m и n)
m 1
2)
n
Подстановка a bx
m 1
3)
p
n
a bx n s
t , где s – знаменатель p
Подстановка
n
x
пропустить 30 клеточек
n
t s, где s – знаменатель p

2.

Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
e
x2
dx
– интеграл Пуассона.
sin x
x dx si( x)
cos x
x dx co( x)
– интегральный синус.
– интегральный косинус.
ex
dx
x
dx
ln x li( x)
– интегральный логарифм.
– эллиптические интегралы
R( x, ax bx cx dx e )dx
R( x, ax3 bx 2 cx d )dx
4
3
2

3.

Математика 2
Определенный интеграл
Основные понятия
Лектор:
доцент отделения математики и информатики
Имас Ольга Николаевна

4.

Перед этим ничего пропускать не надо
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пусть задана функция y = f (x) на [a,b].
Задача: найти площадь S криволинейной трапеции под кривой f (x) между a и b.
Рассмотрим криволинейную трапецию aABb
y
y=f(x)
Выберем i [ xi 1 , xi ] произвольно
B
A
Вычислим
f ( i ), i 1, n
Обозначим
xi xi xi 1
Si f ( i ) xi
n
a
b
x
f ( i ) xi
i 1
Эта сумма выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников,
приближенно заменяет криволинейную трапецию и называется интегральной
n
суммой Римана (T , i ) S
Точное значение площади:
пропустить 25 клеточек
S lim
max xi 0
f ( ) x
i 1
i
i

5.

Определение определенного интеграла
Пусть функция y=f(x) определена на [a, b].
1) Разобьем [a, b] на n частей точками x1 < x2 < … < xk <…< xn-1.
T={a=x0, x1, x2, …, xn=b} называется разбиением на
отрезке [a, b], каждый отрезок [xk-1, xk] называется элементарным,
xk = xk – xk-1 – их длина.
2) На каждом элементарном отрезке [xk-1, xk] выберем точку k произвольно!!!
( k ∈ xk).
3) Вычислим f( k) ∀ k.
4) Составим произведение f (. k) xk , k 1, n
Множество
5) Запишем интегральную сумму (T , )
n
сумма
f ( x ) x – интегральная
Римана
k
k
k 1
6) Перейдем к пределу так, что max x k 0
Определенным интегралом или интегралом Римана на отрезке [a, b] называется предел
интегральной суммы при →0, не зависящий от выбора точки k и способа разбиения
b
n
f ( x)dx lim (T , ) lim f ( ) x
a
0
0
k 1
k
k
пропустить 25 клеточек

6.

Геометрический смысл:
Площадь s криволинейной трапеции под кривой f(x) на отрезке [a,b]
b
s f ( x)dx
a
Физический смысл:
а) путь, пройденный точкой за время от t1 до t2 со скоростью v=v(t).
b
S v(t )dt
б) масса неоднородного стержня длиной от x1 до x2 с линейной плотностью r=r(x).
a
x2
M r( x)dx
x1
в) работа по перемещению точки под действием переменной силы F =F(x)
b
из точки a в точку b.
A F ( x)dx
a
г) количество вещества, образовавшегося в процессе хим. реакции: q =q(t) –
скорость реакции, t1 – время начала, t2 – время окончания реакции
t2
Q q (t )dt
t1

7.

Из определения: функция, для которой существует
называется интегрируемой на отрезке [a, b].
lim (T , )
max x 0
Теорема 1. Необходимый признак интегрируемости
(Ограниченность интегрируемой функции)
Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на
этом отрезке.
Следствие: если функция не ограничена на отрезке [a, b], то она не
интегрируема на [a, b].
Функция Дирихле
1 , x Q (множеству рациональных чисел)
f ( x)
0 , x J (множеству иррациональных чисел)
пропустить 15 клеточек