Предел последовательности и предел функции

1. Предел последовательности и предел функции

2. Предел последовательности

Рассмотрим
две
числовые
последовательности (уn) и (хn) и изобразим их
члены точками на координатной прямой.
(уn): 1, 3, 5, 7, 9,…, 2n – 1,…;
0 1
3
5
9
7
11
13
у
1 1 1 1
1
(хn): 1, , , , , ..., ,...
2 3 4 5
n
0
1 1 1 1
12 6 4 3
1
2
1
х

3.

Обрати
внимание,
что
члены
последовательности (хn) как бы «сгущаются»
около точки 0, а у последовательности (уn) такой
точки нет. В подобных случаях говорят, что
последовательность
(хn)
сходится,
а
последовательность (уn) расходится.
Чтобы узнать является ли конкретная точка,
взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов
заданной
последовательности,
введем
следующее понятие.

4.

Определение 1. Пусть а – точка
прямой, а r – положительное число.
Интервал (а-r; a+r) называют
окрестностью точки а, а число r –
радиусом окрестности.
a-r
a
a+r
х
Пример.
(3,97;
4,03)
–
окрестность точки 4, радиус равен
0,03.

5.

В математике «точку сгущения» для
членов заданной последовательности
принято
называть
«пределом
последовательности».
Определение 2. Число b называют
пределом последовательности (уn),
если в любой заранее выбранной
окрестности точки b содержатся все
члены последовательности, начиная с
некоторого номера.
Обозначение: 1. yn b
(уn стремится к b или уn
сходится к b);
2. lim yn b
n
(предел последовательности уn при
стремлении n к бесконечности равен b)

6. Примеры

1
0;
1. lim
n n
n
q
0;
q
1
2. Если
, то lim
n
Если q 1 , то последовательность q
расходится.
2n
2.
3. lim
n n 1
n

7.

Обсудим результаты, полученные в
примерах с геометрической точки
зрения. Для этого построим графики
последовательностей:
1
yn ,
n
n
1
yn ,
2
2n
yn
.
n 1

8.

1
yn
n
1
yn
2
yn
1
n
Рис. 1
n
Рис. 2
y=2
2n
yn
n 1
Рис. 3

9.

Обрати внимание, что на всех трех
рисунках точки графика, по мере их ухода
вправо, все ближе и ближе подходят к
некоторой горизонтальной прямой:
на рис 1 – к прямой у=0,
на рис 2 – к прямой у=0,
на рис 3 – к прямой у=2.
Каждую
из
этих
прямых
называют
горизонтальной асимптотой графика.

10.

Вообще равенство lim f (n) b
n
означает, что прямая y b является
горизонтальной асимптотой графика
последовательности,
графика функции
yn f (n) т.е.
y f ( x), x N .
y=b

11. Свойства сходящихся последовательностей

Свойство 1. Если последовательность
сходится, то только к одному пределу.
Свойство 2. Если последовательность
сходится, то она ограничена, обратное
неверно.
Свойство 3. Если последовательность
монотонна и ограниченна, то она
сходится.

12. Вычисление пределов последовательности

I.
Предел
стационарной
последовательности равен значению
любого члена последовательности:
lim C C
n

13. Пусть , .

Пусть lim x b, lim y a.
n
n
n
n
II. Предел суммы равен сумме
пределов:
lim ( x y ) b a
n
Пример.
n
n

14.

III. Предел произведения равен
произведению пределов:
lim ( x y ) b a
n
Пример.
n
n

15.

IV.
Предел
частного
равен
частному от пределов (при условиях,
что yn 0, n, a 0 :
xn b
lim
n
yn a
Пример.

16.

V. Постоянный множитель можно
вынести за знак предела:
lim kx kb
n
Пример.
n

17. Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Рассмотрим бесконечную геометрическую
прогрессию b1 , b2 , b3 , ..., bn ,...
Вычислим суммы двух, трех и т.д. членов
прогрессии: S1 b1 ;
S 2 b1 b2 ;
S3 b1 b2 b3 ;
...
S n b1 b2 b3 ... bn ;
...

18. Получилась последовательность

S1 , S 2 , S3 , ..., S n ,...
Она может сходиться или расходиться. Если
последовательность
сходится к пределу
S
S, то число S называется суммой
геометрической прогрессии. Если расходится,
то о сумме геометрической прогрессии не
говорят.
Формула суммы первых n членов
геометрической прогрессии следующая:
n
b1 (q n 1)
Sn
q 1

19.

Теорема. Если знаменатель q
геометрической прогрессии (bn )
удовлетворяет неравенству q 1
,
то сумма S прогрессии вычисляется
по формуле
Пример.
b1
S
1 q

20. Предел функции

1.
Предел функции на
бесконечности.
2.
Предел функции в точке.

21. Предел функции на бесконечности

Пусть дана функция y f (x),
в области определения
которой содержится отрезок
; , и пусть прямая y b
Является горизонтальной
асимптотой графика
функции y f (x),тогда
или lim f ( x) b.
lim
f
(
x
)
b
x
x
y=b

22. Вычисление предела функции на бесконечности

1.
Для
соотношение
справедливо
m N u k
k
lim
0
m
x
x

23. 2. Если ,то

2. Если lim f ( x) b, lim g ( x) a
x
x
,то
а) предел суммы равен сумме пределов:
lim ( f ( x) g ( x)) b a
x
б) предел произведения равен произведению
пределов:
lim ( f ( x) g ( x)) b a
x

24.

в) предел частного равен частному от
пределов:
f ( x) b
lim
x g ( x)
a
г) постоянный множитель можно вынести за
знак предела:
lim kf ( x) kb
x
Пример.

25. Предел функции в точке

Пусть дана функция y f (x)
и пусть дана точка x a.
Пусть значение функции в
этой точке существует и
равно b, тогда
y=f(x)
b
a
lim
f
(
x
)
b
.
x a
(читают: предел функции y f (x),
при стремлении х к а равен b)
Пример.

26. 1. Окрестность какой точки является интервал (2,1; 2,3)?

а) 2;
б) 2,15;
в) 2,2.

27.

2. Интервал (7; 5) окрестность
точки 6, чему равен радиус этой
окрестности?
а) 2;
б) 1;
в) 1,5.

28. 3. Последовательность является:

1
3. Последовательность yn
2n
является:
а) сходящейся;
б) расходящейся;
в) ничего определенного сказать
нельзя.

29. 4. Число b называют пределом последовательности , если:

4. Число b называют пределом
последовательности ( y n ) ,
если:
а) в любой окрестности точки b содержатся
все члены последовательности, начиная с
некоторого номера;
б) в любой окрес тности точки b содержатся
некоторые члены последовательности,
начиная с некоторого номера;
в)
в любой окрестности точки b не
содержатся члены последовательности.

30. 5. Равенство означает, что прямая является для графика :

5. Равенство lim f (n) b означает,
n
что прямая y b является для
графика yn f (n) :
а) горизонтальной асимптотой;
б) вертикальной асимптотой;
в) наклонной асимптотой.

31. 6. Какое из утверждений верно?

а) если последовательность имеет предел,
то она монотонна;
б) если последовательность не монотонна,
то она не имеет предела;
в) если последовательность ограничена, то
она имеет предел.

32. 7. Предел последовательности равен:

7. Предел последовательности
(2n 1)(n 3) равен:
yn
2
n
а) 0;
б) 1;
в) 2.

33. 8. Сумма геометрической прогрессии равна:

8. Сумма геометрической прогрессии
1
27, 9, 3, 1, ,... равна:
3
а) 40;
б) 41;
в) 40,5.

34. 9. Найти

а) 0;
1
б) 1 ;
6
в) 2 1 .
6
7x 9
lim
:
x
6x 1

35. 10. Найти

lim ( x 3x 5) :
2
x 1
а) 1;
б) 3;
в) 2.

36.

Пример. Найти предел последовательности
1
y n 3.
n
Решение.
1
1
3 lim lim 3 0 3 3
lim
n n
n n
n

37.

2n 2 1
.
2
Пример. Вычислить lim
n n 1
Решение. Делим числитель и знаменатель
дроби почленно на наивысшую из
имеющихся степень переменной n, т.е. на
n2.
2
2n
1
1
2
2 2
2
2n 2 1
2 0 2
n
n
n
lim 2
lim
2
lim
2
1
n
1
n
n
n
n 1
1 0 1
1
n2
n2 n2

38.

Пример. Найти предел последовательности
1
yn 2
n
Решение.
1
1
1
lim lim 0 0 0
lim
2
n n
n n
n n

39.

Пример. Найти предел последовательности
5
yn .
n
Решение.
5
1
1
lim 5 5 lim 5 0 0
lim
n n
n
n n
n

40. Пример. Вычислить

x2 9
Пример. Вычислить lim
.
x 3
4 x 12
Решение.
x2 9
x 3 3 3
lim
lim
1
,
5
.
x 3
4 x 12 x 3 4
4
Ответ: -1,5.

41. Дано (уn)= Доказать, что

1 1 1 1
1
Дано (уn)= 1, , , , , ..., ,...
2 3 4 5
n
Доказать, что
1
lim
n
n
0
Решение. Возьмем любую окрестность точки
0, с радиусом r. Подберем натуральное число n0
1
так, чтобы выполнялось неравенство n r
Если например, r=0,001, то в качестве n0
можно взять 1001; если r 3 , то n0=5774.
5774
Член данной последовательности с номером
n0 попадает в выбранную окрестность точки 0. В
этой же окрестности будут находиться все
последующие члены, тогда по определению 2
следует, что
1
lim n 0
n

42. Пример. Найти сумму геометрической прогрессии

1 1
4, 2, 1, , ,...
2 4
1
Решение. Здесь b1 4, q .
2
Так как
знаменатель прогрессии удовлетворяет
неравенству q 1, , то воспользовавшись
формулой S
b1
1 q
, получим
S
Ответ: S 8.
4
1
1
2
8

43. Если , то

Если q 1 , то lim q 0
n
n
n
1 1 1 1
1
1
,..., ,...
Пусть q
, получим , , ,
2 4 8 16
2
2
По
аналогии
с
первым
примером,
здесь
последовательность сходится к 0, значит
n
.
1
Если
q 1
расходится.
lim 2 0
n
, то последовательность q
Пусть q 2 , получим
Эта
последовательность явно не имеет предела, значит
она расходится.
2, 22 , 23 , 24 ,..., 2n ,...
n

44. Дана последовательность найти ее предел.

Дана последовательность
2 4 6 8
2n
, , , ,...,
,...
2 3 4 5
n 1
найти ее предел.
Выполним некоторые преобразования
2n
выражения
:
n 1
2n
2n 2 2 2(n 1) 2(n 1)
2
2
2
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
Это значит, в частности, что
8
2
6
2
2
2
;
4
3 1 5
4 1
2
2
4
2
2
;
2
;
2
1 1 3
2 1
и т. д.,
Данную последовательность перепишем так:
2
2
2
2
2
2
, 2 , 2 , 2 , ..., 2
,...
2
3
4
5
n 1
Видно, что «точкой сгущения» является 2, значит
2n
2
lim
n n 1

45.

Рассмотрим пример.
Дана
последовательность
(хn)=1, 2, 3, 1, 2, 3,…, 1, 2, 3,….
Эта
последовательность
ограничена, но не является
сходящейся.

46. Пример. Вычислить

2x2 3
2 .
lim
x
x 4
Решение. Разделим числитель и
знаменатель дроби почленно на х2:
2x2 3
3
2
2
2
2
2x2 3
2 0 2
x
x
x
lim 2
lim
2
lim
2
4 1 0 1
x
4
x x 4
n
n
1
2
2
x2
x
x
Ответ: 2.