Предел функции

1. Предел функции

Второй замечательный предел
Бесконечно малые функции
Непрерывность функции в точке
Точки разрыва функции
Основные теоремы о непрерывных функциях
Непрерывность функции на интервале и на
отрезке
Свойства функций, непрерывных на отрезке

2. Второй замечательный предел

Вторым замечательным пределом называется равенство:
Следствия:
2.7182818284
1
x
1
lim
1
e
x
x
x e
lim
1
x
x 0
kx
1
lim
1
e
x
kx
Второй замечательный предел применяется для раскрытия
неопределенности 1 .
Другие полезные формулы:
(1 x ) 1
lim
m
x 0
x
m
ln( 1 x )
lim
1
x 0
x
ax 1
lim
ln a
x 0
x

3. Второй замечательный предел

x 3
x 1 4
lim
lim
x
x
x 1
x 1
x 3
4
1
x 1 y
1
1
lim
y
y
x 3
4
lim
1
x
x 1
x 4 y 1; x ; y
4 y 1 3
4y
1
1
1 1
lim
y
y
y
4
4
4
1
1
1 lim 1 e 4 14 e 4
lim
y
y
y
y
y
x 3

4. Бесконечно малые функции

Функция y = f(x) называется бесконечно малой при
x x0
( x )
если
lim f ( x ) 0
x x0
x
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми
величинами; обозначают обычно греческими буквами α, β и т. д.
Например:
sin x 0
lim
x 0
( x ) sin x - бесконечно малая функция при x 0
Теорема
Если функция y = f(x) имеет предел, равный А, то ее можно
представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(x)
lim
f
(
x
)
A
x x
0
f ( x ) A ( x )

5. Бесконечно малые функции

Сравнение бесконечно малых
Пусть α(х), β(х) – бесконечно малые функции
Если
( x )
lim
0
x x0
( x )
то говорят, что α(х) является бесконечно малой высшего
порядка по сравнению с β(х) : o( )
Если
( x )
lim
m
x x0
( x )
( m 0)
то говорят, что α(х) и β(х) – бесконечно малые одного и того
же порядка.
Если
( x )
lim
1
x x0
( x )
то α(х) и β(х) – эквивалентные
бесконечно малые ~

6. Бесконечно малые функции

Некоторые свойства бесконечно малых
Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая
высшего порядка по сравнению с сомножителями:
o( );
o( )
Бесконечно малые эквивалентны тогда и только тогда, когда их
разность является бесконечно малой высшего порядка
относительно α и β .
; o( ); o( ) ~
Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот
предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых
эквивалентной ей бесконечно малой.
A;
xlim
x0
~ 1;
1
~ 1 xlim
A
x0
1

7. Бесконечно малые функции

Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно
малых при x 0
m
sin x ~ x;
e x 1 ~ x;
1 x 1 ~ mx
;
x
tgx ~ x;
a 1 ~ x ln a;
x2
1 cos x ~ .
arcsin x ~ x; ln x 1 ~ x;
2
arctg x ~ x; loga x 1 ~ x loga e;
sin x
0
lim
x 0 4
0
1 x 1
x
lim
4
x 0
0.25 x
sin x ~ x
1
1
1 x 4 1 ~ x
4

8. Непрерывность функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки
x0, и в самой точке x0.
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0 , если
существует предел функции в этой точке и он равен значению
функции в этой точке:
lim
f
(
x
)
f
(
x
)
0
x x
(1)
0
Равенство (1) означает выполнение трех условий:
1
Функция y = f(x) определена в точке x0 и в ее окрестности.
2
Функция y = f(x) имеет предел при
3
Предел функции в точке x0 равен значению функции в этой
точке.
x x0

9. Непрерывность функции в точке

Так как lim x x то равенство (1) можно записать в виде:
0
x x0
lim
f
(
x
)
f
(
lim
x
)
f
(
x
)
0
x x
x x
0
0
Это значит, что при нахождении предела непрерывной функции
можно перейти к пределу под знаком функции:
lim
e
x 0
sin x
x
e
sin x
x 0 x
lim
e
1
e
Равенство справедливо в силу
непрерывности функции y = ex

10. Непрерывность функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой интервале (a; b).
Возьмем произвольную точку
x0 (a; b)
Разность x – x0 называется приращением аргумента х в точке х0
и обозначается:
x x x0
y
y = f(x )
y0 = f(x0 )
0
y
x
х0
х
х
Разность соответствующих
значений функций f(x) – f(x0)
называется приращением
функции f(x) в точке х0 и
обозначается:
y f ( x ) f ( x0 )
Приращения x и y могут быть положительными и
отрицательными.

11. Непрерывность функции в точке

Преобразуем равенство (1):
y
lim
f
(
x
)
f
(
x
)
0
x x
y
0
y0
0
х0
х
х
lim
f
(
x
)
f
(
x
)
0
0
x x 0
0
lim
y
0
x 0
Полученное равенство является еще одним определением
непрерывности функции в точке:
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0 , если она
определена в точке x0 и ее окрестности и бесконечно малому
приращению аргумента соответствует бесконечно малое
приращение функции.

12. Точки разрыва функции

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называется
точками разрыва функции.
Если x = x0 – точка разрыва функции, то в ней не выполняется по
крайней мере одно из условий первого определения
непрерывности, а именно:
y
1
Функция f(x) определена в
окрестности точки х0 , но
не определена в самой
точке х0 :
Функция
1
y
x 2
0
2
не определена в точке х = 2 , но определена в любой
окрестности этой точки, поэтому х = 2 - точка разрыва.
х

13. Точки разрыва функции

2
Функция f(x) определена в точке х0 и в ее окрестности, но не
существует предела f(x) при x x0
Функция
x 1; x 2
y
2 x; x 2
определена в точке х = 2 , но но не имеет предела при
lim
f
(
x
)
1
x 2 0
y
x 2:
lim
f
(
x
)
0
x 2 0
lim f ( x ) xlim
f (x)
2 0
x 2 0
0
2
х
lim
f
(
x
)
x 2
не существует, значит
х = 2 - точка разрыва

14. Точки разрыва функции

3
Функция f(x) определена в точке х0 и в ее окрестности,
существует предела f(x) при x x0 , но этот предел не
равен значению функции в точке х0 .
lim
f
(
x
)
f
(
x
)
0
x x
0
y
cos x; x 0
y
x 0
2;
2
1
0
х
lim f ( x ) xlim
f (x) 1
0 0
x 0 0
f (0 ) 2
lim f ( x ) lim f ( x ) f (0) х = 0 -точка разрыва
x 0 0
x 0 0

15. Точки разрыва функции

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 1 рода функции
f(x) , если в этой точке существуют конечные пределы слева и
справа:
lim f ( x ) A
lim
f
(
x
)
A
1
x x 0
0
x x0 0
2
При этом:
а) если A1 A2 , то х0 - точка устранимого разрыва
(в примере 3: х = 0 – точка устранимого разрыва 1 рода)
б) если A1 A2 , то х0 - точка конечного разрыва
Величину A1 A2 называют скачком функции в точке
разрыва 1 рода.
( в примере 2: х = 2 – точка разрыва 1 рода, скачек функции
равен: 1 0 1)

16. Точки разрыва функции

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 2 рода функции
f(x) , если по крайней мере один из односторонних пределов не
существует или равен бесконечности.
В примере 1:
1
y
x 2
1
lim
x 2 0
x 2
1
lim
x 2 0
x 2
х = 2 – точка разрыва 2 рода.

17. Основные теоремы о непрерывных функциях

Теорема 1
Сумма, произведение и частное непрерывных функций есть
функция непрерывная (для частного за исключением тех значений
аргумента, где знаменатель равен нулю)
Теорема 2
Пусть функция u = g(x) непрерывна в точке x0, а функция y = f(u)
непрерывна в точке u0 = g(x0). Тогда сложная функция y = f(g(x))
непрерывна в точке x0.
Можно доказать, что все основные элементарные функции
непрерывны при всех значениях х, при которых эти функции
определены.
Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая
элементарная функция непрерывна в каждой точке, в
которой она определена.

18. Непрерывность функции в интервале и на отрезке.

Функция y = f(х) называется непрерывной на интервале (a; b),
если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция y = f(х) называется непрерывной на отрезке [a; b], если
она непрерывна на интервале (a; b), и в точке x = a непрерывна
справа:
lim
f
(
x
)
f
(
a
)
x a 0
а в точке x = b непрерывна слева:
lim
f
(
x
)
f
(
b
)
x b 0

19. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема (Вейерштрасса)
Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом
отрезке своего наибольшего и наименьшего значения
Теорема (Больцано - Коши)
Если функция y = f(х) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на
его концах неравные значения f(a) = A, f(b) = B, то на этом отрезке
она принимает все значения между A и B.
Следствие
Если функция y = f(х) непрерывна на
отрезке [a; b] и принимает на его концах
значения разных знаков, то внутри отрезка
найдется хотя бы одна точка с, в которой
данная функция обращается в ноль: f(с) = 0
y
0
a
c
b
х