Пределы
Числовая последовательность
Предел числовой последовательности
Примеры
Функции действительного аргумента
Функции действительного аргумента
Предел функции
Предел функции
Предел функции
Односторонние пределы
Односторонние пределы
Бесконечно большие функции
Бесконечно малые функции
Свойства бесконечно малых функций
Теорема о связи б.б.ф. и б.м.ф.
Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
Основные теоремы о пределах
Основные теоремы о пределах
Основные теоремы о пределах
Признаки существования пределов
Признаки существования пределов
Замечательные пределы
Замечательные пределы
Эквивалентные бесконечно малые
Основные теоремы о пределах
Эквивалентные бесконечно малые
Эквивалентные бесконечно малые
Таблица эквивалентности
Определение непрерывности функции y=f(x) в точке x0
Определение непрерывности функции y=f(x)на интервале (а,b)
Точки разрыва функции
Точки разрыва
Точки устранимого разрыва
Точки скачка
Точки разрыва II рода
Свойства непрерывных функций
Свойства функций непрерывных на отрезке
Свойства функций непрерывных на отрезке
Свойства функций непрерывных на отрезке
Свойства функций непрерывных на отрезке
922.00K
Категория: МатематикаМатематика

Пределы. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности

1. Пределы

Числовая последовательность. Предел числовой
последовательности.
Функция действительного аргумента. Предел функции.
Односторонние пределы.
Бесконечно большие и бесконечно малые функции
Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших
функций.
Теорема о связи между функцией, ее пределом и
бесконечно малой функцией.
Основные теоремы о пределах.
Признаки существования пределов.
Первый и второй замечательные пределы.
Эквивалентные бесконечно малые и их применение.
Непрерывные функции. Точки разрыва функции и их
классификация.

2. Числовая последовательность

Числовой последовательностью {xn } {x1 , x2 , x3 ,..., xn ,...}
называется функция xn f (n), заданная на
множестве натуральных чисел n N
xn -общий или n-ый член числовой
последовательности
( 1)
1 1 1
( 1)
{ 2 } { 1, , , ,..., 2 ,...}
n
4 9 16
n
n
n

3. Предел числовой последовательности

Число a называется пределом последовательности
{xn } , если ( 0)( n0 N ) : ( n n0 ) xn a
В этом случае записывают, что lim xn a или
n
xn a при n
Последовательность, имеющая предел называется
сходящейся, в противном случае расходящейся
a
xn
xn 2
xn 1
a
a
(a , a ) - окрестность точки a; n xn a

4. Примеры

( 1)
( 1)
( 1)
lim
0 ( 2 0, 2 0)
2
n n
n
n
n
n
1.
n
0
1
1
9
1
16
1
4
1
2
2n 1
2 0 2 1
n
lim
2. lim
n 4n 1
n 4 1 4 0 4 2
n

5. Функции действительного аргумента

Пусть X и Y – некоторые непустые множества
Если каждому элементу x множества X ставится в
соответствие один и только один элемент y множества
Y, то говорят, что на множестве X задана функция
y=f(x), то есть f : X Y
Множество X – область определения функции
Y – множество значений функции
Если элементы множеств X и Y являются
действительными числами, то функция f называется
числовой или функцией действительного аргумента

6. Функции действительного аргумента

Основными элементарными функциями являются:
степенная функция
y x , R
показательная функция
y а , a 0, a 1
x
логарифмическая функция
y log a x, a 0, a 1
тригонометрические функции
y sin x, y cos x, y tgx, y ctgx
обратные тригонометрические функции
y arcsin x, y arccos x, y arctgx, y arcctgx
Способы задания функции:
аналитический, табличный, графический, словесный

7. Предел функции

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой
окрестности точки x0 , кроме, быть может, самой
точки x0
Число А называется пределом функции в точке x0 или
при x x0 , если
( 0)( ( ) 0)( x x0 : x x0 )
будет выполнено f ( x) A
В этом случае записывают, что
lim f ( x) A .
x x0

8. Предел функции

f ( x) A означает, что если для
Равенство xlim
x0
любой - окрестности точки А найдется такая окрестность точки x0, что для всех x x0 из этой
- окрестности соответствующие значения
функции f(x) лежат в - окрестности точки А
y
y f (x)
A
A
A
x0 x0 x0
x

9. Предел функции

Пусть функция y=f(x) определена на всей числовой
прямой ( ; ) .
Число А называется пределом функции при x ,если
( 0)( M M ( ) 0)( x : x M ) f ( x) A
В этом случае записывают, что
y
A
lim f ( x) A .
x
lim f ( x) A
x
y f (x)
x
lim f ( x) A
x

10. Односторонние пределы

Односторонние пределы вводят в рассмотрение,
когда важен способ приближения x к x0
Число А1 называется пределом функции y=f(x) в точке
x0 слева lim f ( x) A1 , если
x x0 0
( 0)( ( ) 0) : ( x ( x0 , x0 )) f ( x) A1
Число А2 называется пределом функции y=f(x) в точке
lim f ( x) A1 , если
x0 справа x
x 0
0
( 0)( ( ) 0) : ( x ( x0 , x0 )) f ( x) A2

11. Односторонние пределы

lim f ( x) A
x x0
lim f ( x) A
x x0 0
lim f ( x) A
x x0 0
lim f ( x) f ( x0 0)
x x0 0
lim f ( x) f ( x0 0)
x x0 0
f ( x0 0) f ( x0 0)
lim f ( x) f ( x0 0) f ( x0 0)
x x0
f ( x0 0) f ( x0 0)
lim f ( x)
x x0

12. Бесконечно большие функции

Функция y=f(x) называется бесконечно большой
при x x0 , если
( M 0)( (M ) 0)( x : 0 x x0 ) f ( x) M
lim f ( x) .
x x0
1
lim
x 2 0 x 2
В этом случае записывают, что
y
1
y
x 2
2
x
1
lim
x 2 0 x 2
1
lim
x 2 x 2

13. Бесконечно малые функции

Функция y=f(x) называется бесконечно малой
при x x0 , если
( 0)( ( ) 0)( x : 0 x x0 ) f ( x)
В этом случае записывают, что
y
y x2
lim f ( x) 0
x x0
lim x 0
2
x 0 0
lim x 0
2
x 0 0
lim x 0
2
0
x
x 0
.

14. Свойства бесконечно малых функций

( x), ( x), ( x),.. - бесконечно малые функции
lim ( x) 0
x x0
lim ( x) 0
lim ( ( x) ( x)) 0
x x0
x x0
lim ( x) 0
x x0
lim ( ( x) ( x)) 0
x x0
(x) - ограниченная функция
lim ( x) 0
x x0
lim f ( x) A 0
x x0
lim
x x0
( x)
f ( x)
0

15. Теорема о связи б.б.ф. и б.м.ф.

Если функция (x ) является бесконечно малой при
( x) 0 ) и ( x) 0 , то функция 1 / ( x)
x x0 ( xlim
x0
1 / ( x) )
является бесконечно большой при x x0( xlim
x
0
Если функция y=f(x) является бесконечно большой
f ( x) ), то функция 1 / f ( x )
при x x0 ( xlim
x0
1 / f ( x) 0 )
является бесконечно малой при x x0( xlim
x
0

16. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

Если число А является пределом функции y=f(x) при
x x0 ( lim f ( x) А ) и (x ) - бесконечно малая функция
x x0
при x x0 ( lim ( x) 0), то функцию f(x) в окрестности
x x0
точки x0 можно представить в виде суммы числа А и
бесконечно малой функции (x ) ( f ( x) А ( x) )
Если функцию y=f(x) в окрестности точки x0 можно
представить в виде суммы числа А и бесконечно
( x) 0 ), то число А
малой функции (x ) при x x0 (xlim
x0
является пределом функции f(x) при x x0 ( lim f ( x) А )
x x0

17. Основные теоремы о пределах

Пусть f(x) и g(x) – функции, для которых существуют
пределы lim f ( x) A
lim g ( x) B
x x0
Аналогично при
x
x x0
Предел суммы (разности) двух функций равен сумме
(разности) их пределов
lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
x x0
x x0
x x0
Функция может иметь только один предел при
x x0

18. Основные теоремы о пределах

lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
x x0
x x0
x x0
lim g ( x) 0
x x0
lim ( f ( x) / g ( x)) lim f ( x) / lim g ( x)
x x0
1.
x x0
lim c f ( x) c lim f ( x)
x x0
x x0
2. lim ( f ( x)) ( lim f ( x)) , n N
x x0
n
x x0
n
x x0

19. Основные теоремы о пределах

x 14 x 32
0
( x 2)( x 16)
( ) lim
1) lim
2
x 2
x 2 ( x 2)( x 4)
x 6x 8
0
x 16 18
lim
9
x 2 x 4
2
2
3
2
2
2 x 3x 1
x
2) lim
(
)
lim
x 4 x 2 2 x 5
x
2
4
x
2 0 0 2 1
4 0 0 4 2
1
x2
5
2
x

20. Признаки существования пределов

о пределе промежуточной
функции
Если функция f(x) заключена между двумя функциями
(x ) и g(x), стремящимися к одному и тому же пределу,
то она также стремится к этому пределу
( x) f ( x) g ( x)
lim ( x) a
x x0
lim g ( x) a
x x0
lim f ( x) a
x x0

21. Признаки существования пределов

о пределе монотонной
функции
Всякая монотонно возрастающая
или монотонно убывающая
и ограниченная функция
имеет предел при x
lim arctgx
x
2
, lim arctgx
x
2
Эта теорема справедлива и для последовательности

22. Замечательные пределы

sin x
lim
1
x 0
x
sin 3 x
0
3 sin 3 x
lim
( ) lim
x 0
3 x 0
x
0
3x
sin 3 x
3 lim
3 1 3
3 x 0
3x

23. Замечательные пределы

1
x
lim (1 x) e
x 0
1 x
lim (1 ) e
x
x
x
2
2 x
1
2
lim (1 ) (1 ) lim ((1 ) )
x
x
x
x
x
2
1 2 2
2
2
( lim (1 ) ) e
x
x
2
2

24. Эквивалентные бесконечно малые

(x ), (x) - бесконечно малые функции
d ef ( x)
одинакового порядка
lim
k 0
x x0 ( x)
( x)
lim
1
(x ) ~ (x) при x x0
x x ( x)
d ef
0
( x)
(x ) О ( ( x)) при x x0
lim
0
x x ( x)
d ef
0

25. Основные теоремы о пределах

10
x
0
8
1) lim 2 ( ) lim x 0
x 0 x
x 0
0
10
x -бесконечно малая более высокого порядка малости,
2
чем x
sin x
0
( ) 1 sin x ~ x при x 0
2) lim
x 0
x
0
tgx
0
tgx
sin x
( ) lim
lim
3) lim
x 0 x
x 0 x
x 0 cos x x
0
1
sin x
lim
lim
1 1 1 tgx~ x при x 0
x 0 cos x x 0
x

26. Эквивалентные бесконечно малые

о замене бесконечно
малой на эквивалентную
Предел отношения двух бесконечно малых функций
не изменится, если каждую или одну из них заменить
эквивалентной ей бесконечно малой
( x)
(x ) ~ (x ), при x x0
lim
lim
x x ( x)
x x
(x) ~ (x ), при x x0
0
0
( x)
( x)

27. Эквивалентные бесконечно малые

tg 6 x
0
6x
6
lim
( ) lim
lim 2
x 0 sin 3 x
x 0 3 x
x 0 3
0
sin x ~ x, при x 0 sin 3x ~3 x, при 3x 0
tg x ~ x, при x 0 tg 6x ~ 6x, при 6x 0

28. Таблица эквивалентности

1) sin x x, x 0
3) arcsin x x, x 0
x2
5)1 cos x , x 0
2
x
7)а 1 x ln a, x 0
9) log a (1 x) x log a e, x 0
2)tgx x, x 0
4)arctgx x, x 0
6)е x 1 x, x 0
8) ln( 1 x) x, x 0
10)(1 x) k 1 kx, k 0, x 0
x
11) 1 x 1 , x 0
2

29. Определение непрерывности функции y=f(x) в точке x0

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0 , если:
1. эта функция определена в точке x0 и ее окрестности ;
2. существует lim f ( x)
x x0 def
3. lim f ( x) f ( x ) ( 0)( ( ) 0)( x x : x x )
0
0
0
x x0
f ( x) f ( x0 )
x x0 x
f ( x) f ( x0 ) y
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0 , если:
1. эта функция определена в точке x0 и ее окрестности ;
2. lim y 0
x 0

30. Определение непрерывности функции y=f(x)на интервале (а,b)

Функция y=f(x) называется непрерывной на интервале
(a,b) , если она непрерывна в каждой точке этого
интервала
С – постоянная
x - степенная
x
a - показательная
log a x - логарифмическая
тригонометрические
sin x
arcsin x
cos x
arccos x
tgx
arctgx
ctgx
arcctgx

31. Точки разрыва функции

Точка x=x0 называется точкой разрыва функции y=f(x),
если в ней не выполняется по крайней мере одно из
условий непрерывности функции

32. Точки разрыва

Точка x=x0 называется точкой разрыва функции y=f(x) I рода,
если существуют конечные пределы
f ( x0 0) lim f ( x) ,
x x0 0
f ( x0 0) lim f ( x)
x x0 0
причем не все 3 числа f ( x0 ), f ( x0 0), f ( x0 0) равны между собой
Точка x=x0 называется точкой разрыва функции y=f(x) II рода,
если по крайней мере один из односторонних пределов в этой
точке
f ( x 0) lim f ( x) , f ( x 0) lim f ( x)
0
x x0 0
не существует или равен
0
x x0 0

33. Точки устранимого разрыва

Точка x=x0 называется точкой устранимого разрыва функции
y=f(x),если существуют конечные пределы
f ( x0 0) lim f ( x) ,
x x0 0
причем
f ( x0 0) lim f ( x)
x x0 0
f ( x0 0) f ( x0 0) f ( x0 )
y
sin x
,x 0
y
Функция
имеет
x
2, x 0
устранимый разрыв в точке 0
sin x
sin x
1
f (0 0) lim
1 f (0 0) lim
x
0
0
x 0 0
x
x
x
f ( 0) 2
f (0 0) f (0 0) f (0)

34. Точки скачка

Точка x=x0 называется точкой скачка функции y=f(x),если
существуют конечные пределы
f ( x0 0) lim f ( x) , f ( x0 0) lim f ( x)
x x0 0
x x0 0
причем y f ( x0 0) f ( x0 0) , где f ( x0 0) f ( x0 0) - скачок функции
y=f(x) в точке x0
x 1, 1 x 2
Функция y
имеет
2 x, 2 x 5
скачок в точке 2
y
x
-1
2
5
f (2 0) lim f ( x) 0
x 2 0
f (2 0) lim f ( x) 1
x 2 0
f ( 2) 0
f (2 0) f (2 0)
f (2 0) f (2 0) 1 - скачок

35. Точки разрыва II рода

Точка x=x0 называется точкой разрыва функции y=f(x) II рода,
если по крайней мере один из односторонних пределов в этой
точке
f ( x 0) lim f ( x) , f ( x 0) lim f ( x)
0
0
x x0 0
не существует или равен
x x0 0
1
Функция y
имеет
x 2
разрыв II рода в точке 2
y
2
x
1
f (2 0) lim
x 2 0 x 2
1
f (2 0) lim
x 2 0 x 2

36. Свойства непрерывных функций

y f ( x) g ( x),
непрерывная
функция в точке x0
y=f(x); y=g(x)
непрерывные
функции в точке x0
y f ( x) g ( x)
непрерывная
функция в точке x0
f ( x)
y
, g ( x0 ) 0
g ( x)
непрерывная
функция в точке x0

37. Свойства функций непрерывных на отрезке

Если функция y f ( x) непрерывна на отрезке [ a, b] ,то
она достигает на этом отрезке своего наибольшее и
наименьшее значения, т.е. существуют точки x1 , x2,
принадлежащие отрезку [ a, b] такие, что для любых точек
из отрезка [ a, b] выполняется неравенство
f ( x1 ) f ( x) f ( x2 ).
y
x1 a - наименьшее значение m
M
x2
m
a x2
b
x
- наибольшее значение M
x a, b m f ( x ) M
x

38. Свойства функций непрерывных на отрезке

Если функция y f ( x) непрерывна на отрезке [ a, b]
то она ограничена на нём, т.е. существует число K 0
такое, что f ( x) K для всех точек x из отрезка [ a, b]
y
K
a
K
b x

39. Свойства функций непрерывных на отрезке

Если функция y f ( x) непрерывна на отрезке [ a, b] , и
принимает на концах неравные значения f(a)=A и f(b)=B, то
на этом отрезке она принимает и все промежуточные
значения между А и В.
y
С A, B с a, b
B
C
f(b)
f(c)
A
f(a)
a
c
b
x
f (c ) C

40. Свойства функций непрерывных на отрезке

Если функция y f ( x) непрерывна на отрезке [ a, b]
и на его концах принимает значения разных знаков,
то внутри отрезка [ a, b] найдется хотя бы одна
точка с, в которой данная функция f(x) обращается
в ноль, то есть f(c) = 0.
y
a
c
b
x
English     Русский Правила