Интегрирование методом подстановки

1.

- Интегрирование методом подстановки
Теорема 7.
b
Пусть функция y = f(x) непрерывна на [a, b] и дан интеграл
Введем новую переменную t по формуле x = j (t)
Если
1) j(a) = a, j (b) = b
2) j(t) и j'(t) непрерывны на [ a, b ]
3) f [j (t)] определена и непрерывна на [a, b ] то
b
b
a
a
f ( x)dx f (j(t ))j (t )d t
пропустить 2 страницы
f ( x)dx
a

2.

Приложения определенного интеграла
Вычисление площадей в декартовой системе координат
y
y
d
y=f(x)
x=g(y)
c
a
b
x
b
S
y
x
d
S g ( y )dy
f ( x ) dx
y
f(x)
c
a
g(x)
+
+
a
-
S
- b
a
b
S | f ( x) | dx
a
b
b
S [ f ( x) g ( x)]dx
a

3.

y
y=f(x)
a
b
«–»
y=g(x)
пропустить 20 клеточек
x

4.

Вычисление площадей в параметрической форме
пропустить 1 страницу
Вычисление площадей в полярной системе координат
Задача: найти площадь сектора между лучами ОА, ОВ и кривой r r(j)
Из школы: площадь кругового сектора
B
1
S r 2j
2
A
O
пропустить 1 страницу
r

5.

Полярная система координат
Не переписывать! Просто вспомнить!
y
M (jx , ry )
y
r
j
O
Построить в
полярной
системе кривую r = 3.
x
x
j
r
0
/4
/2
3
3
3
3
11
6
3
Определение.
Полярная система координат – это
точка О (полюс) и ось r –
полярный луч (совпадает по
направлению с осью Ох).
x r cos j
y r sin j
/4
O