Основные методы интегрирования

1. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Замена переменной
( подведение под знак дифференциала )

2.

ПОВТОРЕНИЕ
Правило дифференцирования сложной функции
Сложная функция (или функция от функции) y f g x дифференцируется
по правилу
y' f ' g x g ' x
Восстановление сложной первообразной функции
Проблема состоит в том, что изначально все интегралы задаются в виде
f x dx
Вы сами должны представить подынтегральную функцию в виде
произведения двух сомножителей. Один сомножитель – это новая
(отличная от f x ) сложная функция h от внутренней функции g x , а
второй сомножитель – это производная внутренней функции g' x .
f x h g x g ' x

3.

Если такое представление сделать удалось, то процесс интегрирования можно
оформить цепочкой равенств.
Предполагается, что новый интеграл
него преобразуется.
h t d t - либо табличный, либо легко в
Главный вопрос – какую часть подынтегральной функции обозначить за
новую переменную? Однозначного ответа нет. Но следует помнить, что внутренняя
функция g x может стоять где угодно – в знаменателе, под корнем, под знаком
логарифма, в степени показательной функции, в аргументе тригонометрической
функции, а её производная может быть только сомножителем.

4.

Пример 1. Найти интеграл
Решение.
x dx
1 x2
x dx
1 x2
Самое главное и одновременно самое сложное в начале решения – увидеть
дифференциальную связь между двумя частями подынтегральной функции.
В данном примере такими частями являются числитель х и сумма в знаменателе
(1 + х2). Важно вспомнить, что производная этой суммы (1 + х2) = 2х, т.е. почти
равна числителю х. Можно сказать и иначе : выражение (1 + х2) – это почти
первообразная для числителя х. Забудьте на время, что в подынтегральной
функции есть ещё операция деления. На этапе замены переменной она роли не
играет. Не старайтесь сразу учесть все действия, которые есть в подынтегральной
функции

5.

За новую переменную t нужно обозначить ту часть
подынтегральной функции, производная которой равна (или
очень близка ) к другой части подынтегральной функции.
Замена
x dx
t 1 x2
1 x2
dt 1 x 2 dx 2 x dx
Замечание. Если Вы ввели новую переменную t, то все подынтегральное
выражение должно содержать только переменную t , в том числе и
дифференциал должен быть dt. Но нельзя просто механически заменить dх
на dt. Выражение, которое Вы замените на dt, находится в заготовке
замены.

6.

В примере 1 в подынтегральном выражении есть только хdx, а нужно 2хdx. Здесь
у Вас два способа.
Способ1: выразить произведение xdx из равенства dt = 2xdx как x dx dt .
2
Замена
t 1 x2
x dx x dx
2
dt
1
x
dx 2 x dx
2
2
1 x
1 x
x dx dt
2
dt
2 dt 1 dt 1 ln t C 1 ln 1 x 2 C
t
2t 2 t 2
2
Способ2: искусственно сделать в числителе подынтегральной дроби 2xdx,
умножив числитель на 2, а весь интеграл на 1 .
2
x dx 1 2 x dx
2 1 x2
1 x2
Замена
t 1 x2
1 dt 1 ln t C 1 ln 1 x 2 C
2 t 2
2
2
dt 1 x dx 2 x dx

7.

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ
как подведение под знак дифференциала
Замену переменной интегрирования можно сделать и без переобозначения
внутренней функции g x новой буквой t. Последовательность действий в этом
случае задается цепочкой равенств.
f x dx h g x g' x dx h g x dg x H g x C
Использовали понятие дифференциала функции
d g x g ' x dx
Этот метод ещё называется подведением под знак дифференциала (ППЗД).
Образно говоря, производная g ' x перемещается за букву d вправо,
превращаясь при этом в свою первообразную g x и становясь новой переменной
интегрирования вместо х.

8.

x dx
1 x2
1
2
x 1 dx 1
2
1 x2
1
1
2
2 x
dx
1 x 1 dx
2
1 x2
1 x2
1 1 x 2 dx 1
2
2
1 x
1
2
1 d 1 x2
1 x2
d 1 x2 1
ln 1 x 2 C
2
1 x2
Можно было бы ……
x dx x 1 dx x arctg x dx x d arctg x
1 x2
1 x2
Верно. Но! Бесполезно, т.к. оставшаяся после подведения под знак дифференциала
функция сократилась до х и выражение её через arctg x возможно, но не рационально.

9.

Пример 2. Найти интеграл
x
dx
2
x 3
Решение.
x
dx
2
x 3
dt
2
t
Замена
t x2 3
dt ( x 2 3) ' dx 2 xdx
xdx dt
2
dt
2 t
t C
x2 3 C

10.

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ
методом определения независимой переменной х как новой функции
новой переменной t.
f x dx .
x t
Пусть требуется найти интеграл
новой переменной t, а именно,
. Предположим, что функция
дифференцируема, т.е. существует производная
dx d t t ' dt
Определим х как функцию
x ' ' t
x t
и её дифференциал
. Тогда переход к новой переменной интегрирования в
искомом интеграле задается цепочкой равенств.
f x dx f t d t f t t ' dt y t dt Y t C

11.

Разумеется, последним шагом в решении будет возврат к старой переменной х
по формуле t -1 x . Например, x t 6 t 6 x .
x
Или x 2 sin t t arcsin
2
Внимание! -1
Символом x здесь обозначается функция, обратная функции t ,
как на калькуляторах.
Но!!
Именно с помощью такой замены находятся интегралы от функций, содержащих
корни разных степеней (или иначе от иррациональностей).

12.

Интегрирование простейших иррациональностей
Пример . Найти интеграл
Решение.
dx
x 4 x
x t4
dx
3
dx
4
t
dt
4
x x
t 4 x
2
t
dt 4
4
t 1
Цель замены –
чтобы все корни извлеклись!
4 t 3dt
t4 4 t4
t 2 1 1 dt 4 t 2 1 dt 4
t 1
t 1
3
3
t
dt
t
dt
4 2
4
t t 1
t t
dt 4
t 1
4 x 2
t2
4 t 4 ln t 1 C 4
4 x 4 ln
2
2
4 x 4 x 4 ln
2
4
x 1 C
4
t 1 dt 4 ln t 1
x 1 C

13.

Пример . Найти интеграл
5 x 2 dx
Решение.
5 x
2
Замена
dx x 5 sin t
dx 5 costdt
5 1 sin t 2
5 5 sin t
2
5 cost dt
5 cost dt 5 cost cost dt 5 cos2 t dt
5 1 cos 2t dt 5 dt cos 2t dt 5 t 1 sin 2t C
2
2
2 2
5 arcsin x 1 sin 2 arcsin x C
2
5 2
5
x
5 sin t
t arcsin x
5