Методы интегрирования

1. Методы интегрирования

*

2. Содержание

*
1. Первообразная, неопределённый интеграл и его
основные свойства
2. Таблица основных интегралов
3. Методы интегрирования:
Непосредственное интегрирование
Метод замены переменной
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических
функций
4. Примеры

3. 1. Первообразная, неопределённый интеграл и его основные свойства

*
Функция F x называется первообразной для функции f x в
промежутке a x b , если в любой точке этого промежутка её производная
равна :
F x f x dF x f x dx, a x b.
Отыскание первообразной функции по заданной её производной f x или
по дифференциалу f x dx есть действие, обратное дифференцированию, интегрирование.
Совокупность первообразных для функции f x или для дифференциала f x dx
называется неопределённым интегралом и обозначается символом f x dx
Таким образом,
f x dx F x C ,
если
d F x C f x dx.
Здесь, f x - подынтегральная функция, f x dx - подынтегральное
выражение, С – произвольная постоянная.

4. Основные свойства

*
1. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой
функции плюс произвольная постоянная:
dF x F x C.
2. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному
выражению, а производная неопределённого интеграла равна
подынтегральной функции: d f x dx f x dx,
f x dx f x .
3. Неопределённый интеграл алгебраической суммы функций равен
алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций:
f x x d x f x dx x dx.
4. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно
выносить за знак неопределённого интеграла:
af x dx a f x dx.
и u x - любая известная функция,
имеющая непрерывную производную, то
5. Если f x dx F x C
f u du F u C.

5. 2. Таблица основных интегралов

*
1. dx x C ;
x n 1
2. x dx
C n 1 ;
n 1
dx
3.
ln x C ;
x
ax
x
4. a dx
C;
ln a
n
5. e dx e C ;
x
x
6. sin x dx cos x C ;
7. cos x dx sin x C ;
8.
dx
tg x C ;
2
cos x
dx
9. 2 ctg x C ;
sin x
dx
1
x a
10. 2
ln
C;
2
x a
2a x a
11.
12.
dx
x2 a2
dx
ln x x 2 a 2 C ;
arcsin
x
C;
a
a2 x2
dx
1
x
13. 2
arctg C.
2
x a
a
a

6. 3. Методы интегрирования

*

7. Непосредственное интегрирование

*
Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании
таблицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи:
1. данный интеграл находится непосредственно по
соответствующему табличному интегралу;
2. данный интеграл после применения свойств 3) и 4)
( 3)
f x x d x f x dx x dx.
, 4) af x dx a f x dx. )
приводится к одному или нескольким табличным интегралам
Пример:
Найти 5dx
На основании свойства 4) постоянный множитель 5 можно вынести за знак
интеграла и, используя формулу 1, получим:
5dx 5 dx 5 x C.

8. Метод замены переменной

*
Сущность интегрирования методом замены переменной (способом
подстановки) заключается в преобразовании интеграла f x dx в
интеграл F t dt, который легко вычисляется по какой-либо из
основных формул интегрирования.
Для нахождения интеграла f x dx заменяем переменную x новой
переменной t с помощью подстановки x t . Дифференцируя
это равенство, получим dx t dt . Подставляя в
подынтегральное выражение вместо x и dx их значения, выраженные
через t и dt, имеем
f x dx f t t dt F t dt.
После того как интеграл относительно новой переменной t будет
найден, с помощью подстановки t x он приводится к
переменной x.

9.

Пример:
Вычислить
x
(3x 1) 2 dx
Обозначим 3x+1=t, откуда
1
x (t 1)
3
.
1
dx dt
3
Получаем
1
(t 1)
x
1
1 t 1
1 1 2
3
dx
dt
dt
t dt
(3x 1) 2 t 2 3 9 t 2
9 t
1
t 1
1
1
ln t c ln 3x 1
c
9
1
9
3x 1

10. Интегрирование по частям

*
Пусть существуют функции