Случайность и детерминированность – Pro et Contra
Вероятность
Что такое торговый алгоритм (торговая система)?
От чего зависит эквити счета?
От чего зависит эквити счета?
Торговый алгоритм – это статистический прогноз
Что можно подавать на вход торгового алгоритма?
Прибыль на рынке – это движения
Прибыль на рынке – это движения
Прибыль на рынке – это движения
Прибыль на рынке – это движения. Тренд
Прибыль на рынке – это движения. Контртренд
Оптимальный алгоритм
Оптимальный алгоритм
«Трендовые» системы «лонг»
«Трендовые» системы «шорт»
«Контртрендовые» системы «лонг»
«Контртрендовые» системы «шорт»
Случайная величина
Случайная величина
Случайная величина
Случайная величина
Случайная величина
Случайная величина
Многомерные случайные величины
Многомерные случайные величины
Многомерные случайные величины
Многомерные случайные величины
Многомерные случайные величины
Корреляция
Стохастическое доминирование
Условное распределение
Условное распределение
Условные среднее и дисперсия
Условные среднее и дисперсия
Регрессия
Регрессия
Последовательности случайных величин
Последовательности случайных величин
Случайное блуждание
Автокорреляционная функции
Спектральная функция
Показатель Херста
Показатель Херста
Показатель Херста
Выборка
Достаточные статистики
Задачи статистики
Задачи статистики
Параметрическая статистика
687.50K
Категория: МатематикаМатематика

Алгоритмическая торговля. Научный подход

1.

Алгоритмическая торговля
Научный подход
Ведущий курса:
Александр Горчаков
1

2.

Введение
2

3. Случайность и детерминированность – Pro et Contra

Будущее
• детерминировано, т. е. все будущие
события однозначно
предопределены прошлым.
ИЛИ
• случайно, т. е. будущие события не
предопределены прошлым, а
прошлое лишь может влиять на
шансы (вероятности) их появления.
3

4. Вероятность

• 0≤Р(ω)≤1;
• Если одновременное появление событий
ω1 и ω2 невозможно, то
Р(ω1 И ω2 )=0
• Если Р(ω1 И ω2)=0, то
Р(ω1 ИЛИ ω2) =Р(ω1)+Р(ω2);
• Если ω1 включает в себя ω2, то
Р(ω2) ≤Р(ω1).
• Вероятность хотя бы одного из всех
возможных событий (достоверное
событие) равна 1
4

5. Что такое торговый алгоритм (торговая система)?

Начнем с самого общего определения торгового алгоритма.
Определение 1. Торговый алгоритм – это алгоритм,
преобразующий прошлую входящую информацию в
текущее состояние счета.
Т. е. в обывательском смысле – это что-то типа машинки,
печатающей деньги
5

6. От чего зависит эквити счета?

n
C (i ) V (i) D
i 1
t
t
t
n
(i) V (i),
i 1
t 1
t
где t 1 (i ) Сt 1 (i ) Сt (i )
6

7. От чего зависит эквити счета?

Торговый алгоритм
предположения о будущих приращениях цен
торгуемых активов на основе входных данных
выбор оптимальных объемов активов
в рамках этих предположений
7

8. Торговый алгоритм – это статистический прогноз

Предположения о
будущих
приращениях цен
торгуемых
активов
Статистический
прогноз
8

9. Что можно подавать на вход торгового алгоритма?

Входные данные торгового
алгоритма должны
удовлетворять трем условиям:
- регулярность;
- достоверность;
- формализуемость.
9

10. Прибыль на рынке – это движения

Ц(1+r)
Ц
Ц(1-r)
•P(r)+P(-r)=1
•P(r)=(1+ )/2
Время, за которое произойдет одно из
движений, обозримо и разумно, но не
обязательно постоянно, т. е. не таймфрейм

11. Прибыль на рынке – это движения

Ц(1+r)
>0
Long
Ц
Ц(1-r)
Short
Ц
<0
Ц(1+r)
Ц(1-r)

12. Прибыль на рынке – это движения

Ц(1+r0)
=0 Ц
Ц(1-r0)
Ц(1+r0)(1+r1)
Ц(1+r0)(1-r1)
Ц(1-r0)(1+r1)
Ц(1-r0)(1-r1)
• P(r0,r1)=(1+ 1+)/4
• P(-r0,-r1)=(1+ 1-)/4

13. Прибыль на рынке – это движения. Тренд

Ц(1+r0)
=0 Ц
Ц(1+r0)(1+r1)
Long
Ц(1-r0)
Ц(1+r0)(1-r1)
Ц(1-r0)(1+r1)
Short
Ц(1-r0)(1-r1)
• 1+>0, 1->0

14. Прибыль на рынке – это движения. Контртренд

Ц(1+r0)
=0 Ц
Ц(1+r0)(1+r1)
Short
Ц(1-r0)
Ц(1+r0)(1-r1)
Ц(1-r0)(1+r1)
Long
Ц(1-r0)(1-r1)
• 1+<0, 1-<0

15. Оптимальный алгоритм

Нет
Да
i*>0
Дай прибыли течь,
ограничивай убытки
Пересиживай
убытки
15

16. Оптимальный алгоритм

Отметим, что оптимальный алгоритм в
обоих случаях представляет собой игру в
«бросание монетки» с вероятностью
выигрыша (1+|δi*|)/2 . Это позволяет
строить оптимальные схемы усреднения
позиции для ограничения просадки счета.
Заметим, что если мы не угадали со
знаком δi*, то опять получаем игру в
«бросание монетки», но с вероятностью
выигрыша (1-|δi*|)/2, т. е. заведомо
проигрышную.
16

17. «Трендовые» системы «лонг»


Купил, выросло, начало падать – продал
Купил, упало до стоп-лосса – продал

18. «Трендовые» системы «шорт»


Продал, упало, начало расти – купил
Продал, выросло до стоп-лосса – купил

19. «Контртрендовые» системы «лонг»


Падает - купил, выросло до цели – продал
Купил, упало до стоп-лосса – продал

20. «Контртрендовые» системы «шорт»


Росло - продал, упало до цели – купил
Продал, выросло до стоп-лоса – купил

21.

Основные понятия
теории вероятностей и
математической статистики
21

22. Случайная величина

X: Ω → R
Функция распределения:
F(x)=P(X≤x),
•F(x) – монотонно возрастает по х,
•P(X=х)= F(x)- F(x-), F(x-)=P(X<x),
•F(+ )=1, F(- )=0
Дискретная случайная величина
Существуют такие значения х1, х2, ….,
что
Р(Х=хi)=р(хi) и ∑р(xi)=1
22

23. Случайная величина

Непрерывное распределение
F(x)- непрерывна, т. е. F(x)= F(x-)
Абсолютно непрерывное распределение
Существует такая функция f(x)
x
F ( x ) f ( y ) dy
f(x) – плотность распределения.
23

24. Случайная величина

Плотность нормального распределения
f ( x)
1
2
( x m)2
e
2 2
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
24

25. Случайная величина

Математическое ожидание (среднее)
функции от случайной величины
g ( xi ) p ( xi )
i
Eg ( X )
g ( x) f ( x) dx
Математическое ожидание EX
Дисперсия DX=E(X-EX)2
Стандартное отклонение ( X ) DX
25

26. Случайная величина

Квантиль (α-квантиль)
F ( x)
x
F ( x )
Для непрерывного распределения
α=F(xα)
n% перцентиль - α-квантиль для
n%
100%
n%VAR- n% перцентиль (как правило,
отрицательный).
26

27. Случайная величина

n%CVAR
E(X∙I(X≤n%VAR))
где
1, если X a;
I ( X a)
0, если X a;
27

28. Многомерные случайные величины

X : Ω → Rm
Функция распределения
F(x1,…,xm)=P(X1≤x1,…,Xm≤xm)
Дискретные многомерные случайные
величины
Существует дискретное множество mмерных векторов x=(x1,…,xm) таких, что
p(x1,…,xm)= P(X1=x1,…,Xm=xm)
∑ p(x1,…,xm)= 1
28

29. Многомерные случайные величины

Абсолютно непрерывные многомерные
случайные величины
Существует функция f(x1,…,xm) такая,
что
x1
xm
F ( x1 ,..., xm ) ... f ( y1 ,..., ym )dy1 ... dym
29

30. Многомерные случайные величины

Многомерное нормальное распределение
– это многомерное распределение, у
которого произвольная линейная
комбинация
n
а X
i 1
i
i
имеет одномерное нормальное
распределение или является константой.
30

31. Многомерные случайные величины

Независимые случайные величины
Для любых (x1,…,xm):
для дискретной случайной величины
p(x1,…,xm)=p1(x1)∙…∙pm(xm)
Для абсолютно непрерывной случайной
величины
f(x1,…,xm)=f1(x1)∙…∙fm(xm)
31

32. Многомерные случайные величины

g(Х1,…,Хm) – некоторая одномерная
функция. Математическое ожидание
(среднее) g равно
g ( x1 ,..., xm ) p( x1 ,..., xm )
Eg ( X 1 ,..., X m )
... g ( x1 ,..., xm ) f ( x1 ,..., xm )dx1 ... dxm
Ковариация двух одномерных случайных
величин
COV(X,Y)=E(X∙Y)-EX∙EY
32

33. Корреляция

Корреляция двух одномерных случайных
величин
COV ( X , Y )
CORR ( X , Y )
( X ) (Y )
–|CORR(X,Y)|=1, тогда и только тогда,
когда Х=аY+b, причем
sign(a)=sign(CORR(X,Y))
–если |CORR(X,Y)|≠0, то Х и Y –
зависимы
–если Х и Y – независимы, то
CORR(X,Y)=0
33

34. Стохастическое доминирование

I рода
FX(x)≤FY(x) или Y (≤1) X
II рода
E(X∙I(X≤x))≤E(Y∙I(Y≤x)) или Y (≤2) X
Если, чем больше значение
переменной х, тем лучше, то Х
«лучше» Y.
34

35. Условное распределение

X и Y -дискретные многомерные случайные
величины
Р(Х/(y1,…,yn)) - дискретное распределение с
вероятностями
p( x1 ,..., xm , y1 ,..., y n )
p( y1 ,..., y n )
X и Y - абсолютно непрерывные многомерные
случайные величины
Р(Х/(y1,…,yn)) - абсолютно непрерывное
распределение с плотностью
f ( x1 ,..., xm , y1 ,..., y n )
f ( y1 ,..., y n )
35

36. Условное распределение

Условное распределение Р(Х/(y1,…,yn)) – это
максимум того, что мы можем знать о
реализации случайной величины Х при
условии, что мы наблюдаем реализацию
(y1,…,yn) случайной величины Y.
Определение. Задача статистического
прогноза - это задача оценки условного
распределения и(или) его параметров.
36

37. Условные среднее и дисперсия

Х - одномерная случайная величина.
Среднее случайной величины с
распределением Р(X/(y1,…,yn)), называется
условным средним (обозначается
E(X/(y1,…,yn))), а дисперсия - условной
дисперсией (D(X/(y1,…,yn))).
Условные среднее и дисперсия являются
одномерными случайными величинами,
так как являются преобразованиями
многомерной случайной величины Y .
37

38. Условные среднее и дисперсия

Cреднеквадратичным отклонением
прогноза g(y1,…,yn) называется величина
Δg=E(X-g(Y))2 ,
где усреднение ведется по
распределению многомерной случайной
величины Y.
Минимум Δg достигается при
g(y1,…,yn)= E(X/(y1,…,yn))
и равен ED(X/Y).
38

39. Регрессия

Детерминированность – это частный
случай случайности при Δg=0.
E(X/(y1,…,yn)), как функция от (y1,…,yn),
называется функцией регрессии.
Таким образом, оптимальный в
среднеквадратичном статистический
прогноз является ни чем иным, как
функцией от известных (при временном
ряде -прошлых) значений наблюдаемых
случайных величин.
39

40. Регрессия

Если (X,Y) имеет многомерное
нормальное распределение, то
E(X/(y1,…,yn)) равна
n
a y
i 1
i
i
где аi не зависят от (y1,…,yn).
Т. е. в этом случае оптимальным в
среднеквадратичном прогнозом
является линейная регрессия.
40

41. Последовательности случайных величин

Х1, Х2,…,
Стационарность в широком смысле
ЕХi=a, EXi∙Xj=γ(|j-i|)
Стационарность в узком смысле
Для любых i1<….<im и t=1,2,….
FX i ,..., X im ( x1 ,..., xm ) FX i t ,..., X im t ( x1 ,..., xm )
1
1
41

42. Последовательности случайных величин

Последовательность независимых
случайных величин: Для любых i1<…<im
X i1 ,..., X im
независимы
Гауссовская последовательность – это
стационарная в узком смысле
последовательность: Для любых i1<…<im
FX i ,..., X im ( x1 ,..., xm )
1
многомерное нормальное распределение
42

43. Случайное блуждание

Х1, Х2,…, - случайное блуждание, если
X2-X1, X3-X2,…, - стационарная в узком
смысле последовательность независимых
случайных величин.
Х1, Х2,…, - геометрическое случайное
блуждание, если
LnX1, LnX2,…, - случайное блуждание.
Отметим, что случайное блуждание в
общем случае не является стационарным
процессом.
43

44. Автокорреляционная функции

Автокорреляционная функция (АКФ) для
стационарных в широком смысле
последовательностей (!) с конечной
дисперсией равна
( n) a
( n)
2
(0) a
2
Для последовательности независимых
случайных величин АКФ - нулевая, вне
зависимости от выполнения условия
стационарности.
44

45. Спектральная функция

(0) a
s( )
[1 2 (i) cos( i)], 0
i 0
2
Спектральная функция – это
преобразование Фурье АКФ.
Спектральная функция – непрерывная
функция, широкие пики в ней
соответствуют нерегулярным циклам,
узкие – более регулярным. Для нулевой
АКФ спектральная функция –
константа.
45

46. Показатель Херста

m
X
m
i 1
i
m
m
Rn max ( m n ) min ( m n )
m n
m n
n
n
Rn
c
H n
n
H – коэффициент (показатель) Херста.
Если Х1, Х2,…, -последовательность
независимых случайных величин с
конечной дисперсией, то H=½.
46

47. Показатель Херста

Случаи H≠½.
1.Пусть Х1, Х2,…, - последовательности
независимых случайных величин с распределением
Коши (дисперсия бесконечна). Тогда H=1.
2.Пусть Х1, Х2,…, - гауссовская последовательность
с нулевым средним
γ(k)=½((k-1)2h-2k2h+(k+1)2h)
Тогда H=h, а последовательность ∑1, ∑2,…,
называют фрактальным броуновским
движением, которое представляет собой
обобщение стандартного броуновского движения
(винеровского процесса), получающегося при H=½.
47

48. Показатель Херста

Для стационарных последовательностей
(!) отличие коэффициента Херста от ½
может означать либо «сверхтяжелые
хвосты», либо сильную зависимость
(убывающую с «расстоянием» по
степенной функции). Для случая
экспоненциального убывания зависимости
с «расстоянием» или конечной
зависимости, коэффициент Херста равен
½, хотя для близлежащих значений этих
последовательностей зависимость может
быть очень сильной.
48

49. Выборка

Выборка – это реализация конечного отрезка
некоторой последовательности случайных
величин.
Статистика – это некоторая функция от
выборки.
Наиболее известные статистики
Выборочное среднее
1 n
xi
n i 1
Выборочная дисперсия
1 n
1 n
2
(
x
(
x
)
)
i
i
n 1 i 1
n i 1
49

50. Достаточные статистики

Если функция распределения многомерной
случайной величины, реализацией которой
является выборка имеет вид
F(g1(х1,…,хn),…, gm(х1,…,хn)), m<n
то статистики g1,…, gm называются
достаточными статистиками.
Отметим, что преобразование выборки в
последовательность достаточных статистик не
уменьшает информации об исходном
распределении, содержащейся в выборке. Для
независимых одинаково распределенных
нормальных случайных величин достаточными
статистиками являются выборочное среднее и
дисперсия.
50

51. Задачи статистики

Различение гипотез
H0: F(x1,…,xn) из множества
распределений F0 ;
H1: F(x1,…,xn) из множества
распределений F1 ;
F0 и F1 не пересекаются.
Строим такую статистику g и
разбиение R на два непересекающихся
подмножества R0 и R1, что если gЄ R0 ,
то принимаем гипотезу H0
51

52. Задачи статистики

Оценивание параметров
F(x1,…,xn) = G(x1,…,xn, a) , где а –
неизвестен.
Задача построить такую статистику
g, которая была бы «близка» к значению
a.
Несмещенной называется
статистика, для которой
Eg=a
52

53. Параметрическая статистика

Параметрической называют такие задачи
статистики, в которых функции
распределения задаются в виде четкой
формулы за исключением неизвестных
параметров распределения.
Соответственно, отказ от условия явного
вида функции распределения приводит к
непараметрической статистике. В частности,
задача проверки стационарности
произвольной последовательности
случайных величин – задача
непараметрической статистики.
53
English     Русский Правила