Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным

1.

Дифференциальные уравнения
Тема:
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся
к однородным
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.

2. §5. Однородные уравнения

Функция M(x , y) называется однородной степени m (или измерения m), если t 0 справедливо равенство
M(tx , ty) = tm M(x , y) .
ПРИМЕРЫ однородных функций:
f ( x, y ) x 3 3 x 2 y ,
f ( x, y) 4 x8 y 8 ,
x3 y3
f ( x, y ) 2
,
2
x xy y
x2 y2
f ( x, y )
,
xy
x
f ( x, y) sin ln y ln x .
y

3.

Дифференциальное уравнение первого порядка
y = f(x , y)
называется однородным относительно x и y, если функция
f(x , y) является однородной нулевой степени.
Дифференциальное уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
является однородным относительно x и y, если функции
M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же
измерения.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяy
ющимися переменными заменой
z ( x)
x
Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью замены
x
y
z ( y)

4. §6. Уравнения, приводящиеся к однородным

a1 x b1 y c1
1. Уравнения вида y f
a2 x b2 y c2
a1 x b1 y c1
Рассмотрим уравнение y f
(7)
a2 x b2 y c2
Если c1 = c2 = 0 , то уравнение (7) будет однородным, т.к.
a1x b1 y
y
f
.
x
a2 x b2 y
Пусть c1 0 или c2 0. Тогда уравнение (7) заменой
переменных
приводится
либо
к
уравнению
с
разделяющимися переменными, либо к однородному.
Это зависит от определителя
a b
1
1
a2 b2
.

5.

а) Если Δ 0 , то (7) приводится к однородному уравнению.
Действительно, если Δ 0 , то система уравнений
a1 x b1 y c1 0
a x b y c 0
2
2
2
имеет единственное решение x = a , y = b .
Сделаем в (7) замену переменных: x = t + a ,
Тогда:
y=z+b.
dy dz
;
dx dt
a1 (t a ) b1 ( z b ) c1
dz
,
f
dt
a2 (t a ) b2 ( z b ) c2
a1t b1 z (a1a b1b c1 )
dz
,
f
dt
a2 t b2 z (a2a b2 b c2 )
a1t b1 z
dz
.
f
dt
a2 t b2 z
однородное уравнение

6.

б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Действительно, если Δ = 0 , то строки определителя Δ пропорциональны (см. упражнение в курсе «Линейная алгебра»),
т.е.
a2 = la1 , b2 = lb1 .
a1 x b1 y c1
y f
Тогда
l (a1 x b1 y ) c2
y = (a1x + b1y) .
Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью замены
z(x) = a1x + b1y .

7. 2. Обобщенно однородные уравнения

Уравнение 1-го порядка называется обобщённо однородным,
если существует такое рациональное число a, что каждое
слагаемое уравнения – однородная функция степени a относительно x, y, y (относительно x, y, dx, dy), если считать x –
величиной измерения 1, y – величиной измерения a, y (dy) –
величиной измерения a – 1, dx – величиной измерения 0.
Иначе говоря, уравнение P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 – обобщенно однородное, если a ℚ такое, что
P(tx , tay)dx + Q(tx , tay) (ta 1dy) = tm [ P(x , y)dx + Q(x , y)dy ] .
Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному
уравнению заменой y = za .
Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными заменой y = zxa .