Дифференциальные уравнения и численные методы

1. Дифференциальные уравнения и численные методы

Лекция 4

2.

§ 4. Линейные дифференциальные уравнения высшего
порядка
Уравнение вида
называется линейным дифференциальным уравнением
(ЛДУ) порядка n, где аi (х), f(x) – непрерывные функции на
некотором промежутке (a, b); i = 0, n.
(a, b) называется интервалом непрерывности ДУ.
Если f(x)≡0, то уравнение называется однородным
линейным дифференциальным уравнением (ОЛДУ);
если f(x)≠0, то уравнение называется неоднородным
линейным дифференциальным уравнением (НЛДУ).
2

3.

Введем оператор дифференцирования n -го порядка:
При действии его на функцию у(х), получим
т.е. левую часть линейного ДУ n -го порядка.
Вследствие этого НЛДУ можно записать Ln[y]=f(x),
ОЛДУ примет вид Ln[y]=0.
3

4.

Ln[у] является линейным оператором, т.к. выполнены
свойства линейности:
1) Ln[ у1(х)+у2(х)] = Ln[у1(х)]+ Ln[у2(х)]
(свойство аддитивности;)
2) Ln[ λ у(х)] = λ Ln[у(х)] (свойство однородности).
Следует из аналогичных свойств производных этих
функций.
4

5.

Рассмотрим ОЛДУ: Ln[y]=0.
Свойства решений ОЛДУ:
1. Свойство аддитивности.
Если у1(х), у2(х) − решения ОЛДУ, то у1(х)+у2(х) так же
является решением этого уравнения.
Доказательство.
у1(х), у2(х) − решение Ln[у1(х)]≡0 и Ln[у2(х)]≡0.
Тогда Ln[ у1(х)+у2(х)] = Ln[у1(х)]+ Ln[у2(х)]≡0.
2. Свойство однородности.
Пусть у(х) − решение ОЛДУ, λ P (P–числовое поле).
Тогда λ·у(х) −решение ОЛДУ.
Доказывается аналогично.
5

6.

Следствие.
Если у1(х), у2(х),…, уk(х) − решения ОЛДУ, то λi P
(i=1, 2,…, k)
− решение ОЛДУ.
3. Если y(x)=u(x)+i·v(x) − комплекснозначное решение ОЛДУ, то
u(x), v(x) – действительнозначные решения этого уравнения.
Доказательство.
Если y(x)=u(x)+i·v(x) – решение ОЛДУ, то при подстановке y(x) в
уравнение обращает его в тождество, т.е. Ln[u(x)+i·v(x)]=0.
В силу линейности оператора, левую часть последнего равенства
можно записать так: Ln[u(x)]+ i·Ln[v(x)]=0.
Это значит, что Ln[u(x)]=0, Ln[v(x)]=0,
т.е. u(x), v(x) – решения ОЛДУ.
6

7.

Последующие свойства решений ОЛДУ связаны с понятием
линейная зависимость.
Система функций {g1(x), g2 (x),…, gn (x)} называется
линейно зависимой, если найдется нетривиальный набор
чисел { 1 , 2,…, n} такой, что линейная комбинация
функций с этими числами тождественно равна нулю, т.е.
В противном случае, система функций называется
линейно независимой, т. е.
тогда и только
тогда, когда все i=0.
7

8.

Пример. {ex, 2ex}− линейно зависима,
т.к. {2, −1}: 2·ex −1· 2ex=0.
Теорема (о необходимом условии линейной зависимости
конечной системы функций).
Пусть
− линейно зависимая и n раз
дифференцируемая система функций на (a, b).
Тогда х (a, b) определитель Вронского (вронскиан)
8

9.

Пример. Найти вронскиан системы функций {ex, 2ex}.
Следствие.
Если х0 (a, b): W[g1(x0),…, gn (x0)]≠0, то система
линейно независима.
9

10.

Пример. Проверить линейную зависимость системы
функций {1, sin x, cos x}.
10

11.

§ 5. Общая теория однородных линейных
дифференциальных уравнений (ОЛДУ)
Рассмотрим однородное уравнение
или в операторной форме Ln[у]=0,
(a, b) – интервал непрерывности.
11

12.

Теорема (о необходимом и достаточном условии
линейной независимости решений ОЛДУ).
Пусть
– система решений ОЛДУ на (a, b).
Система решений линейно независима на (a, b)
х (a, b) определитель Вронского
12

13.

Фундаментальная система решений ОЛДУ
Всякая линейно независимая на (a, b) система из n
решений ОЛДУ Ln[у]=0, называется фундаментальной
системой решений ОЛДУ на (a, b) (ФСР ОЛДУ).
Теорема (о ФСР ОЛДУ)
Для любого ОЛДУ Ln[у]=0, х (a, b) существует ФСР.
13

14.

Теорема (о структуре общего решения ОЛДУ)
Пусть Ln[у]=0 – ОЛДУ n-го порядка с интервалом
непрерывности (a, b);
– ФСР ОЛДУ на (a, b), тогда общим решением
ОЛДУ на (a, b) является линейная комбинация решений
фундаментальной системы ОЛДУ с произвольными
коэффициентами, т. е.
где Ci R i {1,…,n} .
14

15.

Правило решения ОЛДУ:
1. Найти ФСР ОЛДУ на интервале непрерывности
(a, b). ФСР= {у1(x), у2 (x),…, уn (x)}, х (a, b).
2. Найти общее решение ОЛДУ, используя теорему о
структуре общего решения:
3. Для решения задачи Коши ОЛДУ по начальным
условиям: у(х0)=у0, у'(х0)=у'0,…, у(n−1)(х0)=у0(n−1) найти
значения С1=С10, С2=С20,…, Сn=Сn 0 и подставить их в
общее решение вместо произвольных постоянных.
15

16.

Пример. Решить задачу Коши ОЛДУ y"−y=0 при
y(0)=1, y'(0)=−1.
За ФСР можно взять линейно независимую систему
функций {ex, e−x} (доказать)
16

17.

Решение ОЛДУ с постоянными коэффициентами
методом Эйлера
Пусть дано ОЛДУ с п/к вида
Ln [ y] an y ( n) an 1 y ( n 1) ... a1 y a0 y 0
где a0, a1,…, an R.
Решение этого уравнения будем искать в виде y = eλx.
Подставим функцию в исходное уравнение,
продифференцировав её n раз (подстановка Эйлера).
17

18.

Получим an ne x an 1 n 1e x ... a1 e x a0 e x 0
n
n 1
или an an 1 ... a1 a0 0
18

19.

Последнее равенство называется характеристическим
уравнением.
Т. к. характеристическое уравнение есть
алгебраическое уравнение, а оно по теореме Гаусса
имеет хотя бы одно решение, то ОЛДУ будет иметь
решение вида y = eλx.
Для того, чтобы подстановка Эйлера y(х) = eλx являлась
решением ОЛДУ с п/к необходимо и достаточно,
чтобы число λ в ней было решением
характеристического уравнения ОЛДУ с п/к.
19

20.

Характеристическое уравнение – алгебраическое
уравнение n-ой степени, поэтому возможны
следующие варианты его решения:
1) все корни характеристического уравнения
вещественные и попарно различные.
2) среди n корней характеристического уравнения есть
кратные вещественные корни.
3) среди n корней характеристического уравнения есть
простые комплексно сопряженные корни.
4) среди n корней характеристического уравнения есть
комплексно сопряженные кратные корни.
20