Дифференциальные уравнения. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

1. Дифференциальные уравнения

Линейные уравнения с постоянными
коэффициентами

2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Однородные Д.У. с постоянными
коэффициентами.
Рассмотрим уравнение
( n)
( n 1)
n 1
0
где
0
n 1 - постоянные
действительные числа
rx
Пусть функция ( x) e - решение Д.У.
Ly y
a
a , , a
y
a y 0
( x) rerx , , (n) ( x) r nerx
erx (r n an 1r n 1 a0 ) 0
r n an 1r n 1 a0 0
r - корень алгебраического уравнения

3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение.
Алгебраическое уравнение
n
n 1
n 1
0
r a r
a 0
соответствующее данному ЛОДУ,
называется характеристическим уравнением.
Обратное утверждение:
Пусть
- корень характеристического уравнения.
rx
Тогда функция ( x) e -частное решение ЛОДУ.
r
Замечание. Алгебраическое уравнение степени n с
действительными коэффициентами имеет n решений.

4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Примеры.
1.
y 4 y 0
Замена:
y r , y r 1
2
0
Характеристическое уравнение:
r 4 0 r1, 2 2
2
1 ( x) e , 2 ( x) e
2x
- частные решения ЛОДУ.
2 x

5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Примеры.
2.
y 4 y 3 y 0
Замена:
y r , y r, y 1
2
Характеристическое уравнение:
4 4
r 4r 3 0 r1, 2
1, 3
2
x
3 x
2
1 ( x) e , 2 ( x) e
- частные решения ЛОДУ.

6. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Свойства решений ЛОДУ.
1. Линейность.
Ly 0
1 ( x), 2 ( x),..., k ( x)
C1 1 ( x) C2 2 ( x) ... Ck k ( x) - решение ЛОДУ.
- решения ЛОДУ
(C1 , C2 ,..., Ck произвольные постоянные)
Доказать самостоятельно.

7. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Свойства решений ЛОДУ.
1. Линейность.
Ly 0
1 ( x), 2 ( x),..., k ( x)
C1 1 ( x) C2 2 ( x) ... Ck k ( x) - решение ЛОДУ.
- решения ЛОДУ
(C1 , C2 ,..., Ck произвольные постоянные)
Доказать самостоятельно.
Примеры.
1. Y
C1e C2e
2x
2 x
при любых постоянных
2. Y
x
C1e C2e
3 x
при любых постоянных
- решение ЛОДУ
С1 и С2.
- решение ЛОДУ
С1 и С2.
y 4 y 0
y 4 y 3 y 0

8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

2. Критерий линейной независимости системы решений ЛОДУ.
Пусть 1 ( x), 2 ( x), ..., n ( x)
- частные решения ЛОДУ порядка n в
( a, b) .
Теорема.
Система функций ( x), i 1,2,..., n
i
линейно независимая в ( a, b)
W ( 1 , 2 ,..., n ) 0 x (a, b)

9. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение ФСР.
Фундаментальной системой решений (ФСР)
ЛОДУ Ly 0 - порядка n
называется система ( x), i 1,2,..., n
i
n линейно независимых решений ЛОДУ.

10. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение ФСР.
Фундаментальной системой решений (ФСР)
ЛОДУ Ly 0 - порядка n
называется система ( x), i 1,2,..., n
i
n линейно независимых решений ЛОДУ.
Примеры.
1 ( x) e , 2 ( x) e
2x
1.
x
2.
2 x
- ФСР ЛОДУ
1 ( x) e , 2 ( x) e
3 x
y 4 y 0
- ФСР ЛОДУ
y 4 y 3 y 0

11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Теорема о структуре общего решения ЛОДУ.
Пусть при x ( a, b) система ( x), i 1,2,..., n
i
образует ФСР ЛОДУ порядка n.
Тогда общее решение ЛОДУ порядка n
имеет вид
Y ( x) C1 1 ( x) C2 2 ( x) ... Cn n ( x)
с произвольными постоянными
Примеры.
1.
2.
C1 , C2 ,..., Cn
2x
2 x
, C1 , C2 , - общее решение ЛОДУ y 4 y 0
x
3 x
, C1 , C2 , - общее решение ЛОДУ
y 4 y 3 y 0
Y C1e C2e
Y C1e C2e

12. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

ФСР в случае различных
действительных корней.
r1 , r2 , , rn корни характерис
тическогоуравнения
действител
ьные различные(ri rj )
1 e , 2 e , , n e ФСР ЛОДУ порядка n
r1 x
rn x
r2 x
Доказательство (при n=2).
1.
2.
1 e и 2 e два частных решения ЛОДУ порядка 2
r1x
W ( x)
r2 x
er x
1
er x
2
r1e r x r2e r x
1
2
e( r r ) x (r2 r1 ) 0
1
2
1 ( x) и 2 ( x) линейно
независимые функции
образуют ФСР

13. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Случай кратных действительных корней.
Пусть действительное число
- корень уравнения
кратности k 2
В ФСР ЛОДУ ему соответствуют k решений вида
r
rx
rx
k 1 rx
e , xe , , x e

14. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Случай кратных действительных корней.
Пусть действительное число
- корень уравнения
кратности k 2
В ФСР ЛОДУ ему соответствуют k решений вида
r
rx
rx
k 1 rx
e , xe , , x e
Пример.
1. y 4 y 4 y 0
2
2. Замена: y r , y r , y 1
3. Характеристическое уравнение:
4 0
r 4r 4 0 r1, 2
2
2
2
2 x
, 2 ( x) x e
4. ФСР: 1 ( x) e
2 x
(кратность 2)

15. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

ФСР в случае, когда некоторые корни комплексные.
1. Случай простого комплексного корня.
Пусть r i - комплексный корень характеристического
уравнения
тогда r i - также корень этого уравнения.
Функции
~1 ( x) e( i) x и ~2 ( x) e( i ) x
- решения ЛОДУ.
~
~
Функции 1 ( x) и 2 ( x) линейно независимые, так как
W ( x)
e( i ) x
e( i ) x
( i)e( i ) x ( i)e( i ) x
~
~
2 ie 2 x 0
Функции 1 ( x) и 2 ( x) вместе с другими (n-2) линейно независимыми решениями ЛОДУ образуют
ФСР.

16. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

~
~
Преобразуем функции 1 ( x) и 2 ( x)
с помощью формулы Эйлера:
e
xi
cos x i sin x
e ( i ) x e x (cos x i sin x)
e ( i ) x e x (cos x i sin x)
~1 ( x) ~2 ( x) x
~1 ( x) ~2 ( x)
x
e cos x
; e sin x
2
2i
Функции
1 ( x) e x cos x и 2( x) e x sin x
являются действительными функциями переменной х;
являются решениями ЛОДУ;
являются линейно независимыми
Образуют
(вместе с другими)
ФСР

17. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Примеры.
1. Найти ФСР уравнения
Шаг 1. Запишем характеристическое уравнение и решим его:
y y 0
y r , y 1
r 1 0 r1, 2 1 i
Шаг 2. Запишем ФСР ЛОДУ: i 0 1i
2
2
1 cos x , 2 sin x

18. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Примеры.
2. Найти ФСР уравнения
y 4 y 8 y 0
Шаг 1. Запишем характеристическое уравнение и решим его:
y r , y r, y 1
r 4r 8 0
2
2
4 16 4 4i
r1, 2
2 2i
2
2
Шаг 2. Запишем ФСР ЛОДУ:
1 e
2 x
i 2 2i
cos 2 x , 2 e
2 x
sin 2 x

19. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

2. Случай кратных комплексных корней.
Пусть комплексное число r i
корень кратности m 2
число r i - тоже корень кратности m 2
В ФСР ЛОДУ им соответствуют 2m решений вида
x
e cos x , e
x
x
sin x ,
x
xe cos x , xe sin x ,
, ...,
x
m 1 x
e cos x , x
m 1 x
e sin x

20. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Свойства решений ЛНДУ.
.
1. y ( x) и y ( x) - частные решения ЛНДУ Ly q (x )
1
2
y1 ( x) y2 ( x)
- решение ЛОДУ Ly 0 ,
соответствующего данному ЛНДУ.

21. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Свойства решений ЛНДУ.
.
1. y ( x) и y ( x) - частные решения ЛНДУ Ly q (x )
1
2
y1 ( x) y2 ( x)
- решение ЛОДУ Ly 0 ,
соответствующего данному ЛНДУ.
Доказательство.
Ly1 q( x)
Ly2 q( x)
L( y1 y2 ) Ly1 Ly2 0

22. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

2. Принцип суперпозиции.
yi ( x) частные решения ЛНДУ Lyi qi ( x) , i 1,2,..., k
k
k
i 1
i 1
y ( x) yi ( x) частное решение ЛНДУ Ly qi ( x)

23. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

2. Принцип суперпозиции.
yi ( x) частные решения ЛНДУ Lyi qi ( x) , i 1,2,..., k
k
k
i 1
i 1
y ( x) yi ( x) частное решение ЛНДУ Ly qi ( x)
Доказательство.
k
k
k
i 1
i 1
i 1
L( y ( x)) L( yi ( x)) L( yi ( x)) qi ( x)

24. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ.
1.
2.
y(x)
- частное решение ЛНДУ
i( x), i 1,2,..., n
Ly q (x) порядка n.
- ФСР ЛОДУ
Ly 0 ,
соответствующего данному ЛНДУ.
Общее решение ЛНДУ имеет вид
n
Y ( x) y ( x) Ci i ( x)
i 1
C1 , C2 ,..., Cn - произвольные постоянные

25. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим уравнение
( n)
( n 1)
n 1
0
где
постоянные
коэффициенты
и
0
n 1
q( x) 0 имеет специальный вид.
Правило.
Ly y
a
a , , a
y
a y q ( x)
q( x) e x Pm ( x) cos x Pm ( x) sin x
1
2
где Pm ( x) и P m ( x) многочлены
1
2
ст епениm1 и m2 , соот вет стенно
в .
Ql , Rl многочлены степени l
s x
y x e
Ql ( x) cos x Rl ( x) sin x
частное решение ЛНДУ.
с неопределенными коэффициен тами,
l max (m1 , m2 ) ,
s кратность корня i
характеристического уравнения .

26. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Примеры.
x
1. Найти общее решение уравнения y y 2e
Шаг 1. Решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:
y y 0
r 2 1 0 r1, 2 i
ФСР : y1 cos x , y2 sin x
yoo C1 cos x C2 sin x
Шаг 2. Найдем частное решение ЛНДУ:
y Aex y Aex , y Aex
i 1 i s 0
Ae x Ae x 2e x A 1 y e x
Шаг 3. Запишем общее решение ЛНДУ:
y y yoo e C1 cos x C2 sin x
x

27. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

y y 2e
x
2. Найти общее решение ЛНДУ
Шаг 1. Решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:
y y 0 r 2 1 0 r1, 2 1
ФСР : y1 e x , y2 e x
yoo C1e x C2e x
Шаг 2. Найдем частное решение ЛНДУ:
x
x
y Axe y Ae Axex
i 1 r1 s 1
y 2 Aex Axex
2 Ae Axe Axe 2e
x
x
x
A 1 , y xe
x
x
Шаг 3. Запишем общее решение ЛНДУ:
y xe C1e C2e
x
x
x

28. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Пример 3. Найти общее решение ЛНДУ y 2 y 2 cos x
Шаг 1. Решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:
y 2 y 0 r 2 2r 0 r1 0 , r2 2
ФСР : y1 e0 x 1 , y2 e 2 x
yoo C1 C2e 2 x
Шаг 2. Найдем частное решение ЛНДУ:
y A cos x B sin x
y A sin x B cos x i i r1,2
y A cos x B sin x
Acos x B sin x 2( Asin x B cos x) 2 cos x
2
4
2
4
A 2 B 2
A , B , y cos x sin x
5
5
5
5
B 2 A 0
Шаг 3. Запишем общее решение ЛНДУ:
2
4
2 x
y cos x sin x C1 C2 e
5
5

29. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Пример 4. Найти общее решение ЛНДУ y y 2 cos x
Шаг 1. Решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:
y y 0 r 2 1 0 r1, 2 i
ФСР : y1 cos x, y2 sin x
yoo C1 cos x C2 sin x
Шаг 2. Найдем частное решение ЛНДУ:
y x( A cos x B sin x)
i i r1 s 1
y ( A cos x B sin x) x( Asin x B cos x)
y 2( Asin x B cos x) x( Acos x B sin x)
2( A sin x B cos x) x( A cos x B sin x)
x( A cos x B sin x) 2 cos x
2 A 0
A 0 , B 1 y x sin x
2B 2
Шаг 3. Запишем общее решение::
y x sin x C1 cos x C2 sin x
резонанс

30. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные Д.У.
Метод вариации произвольных
постоянных (метод Лагранжа).
Теорема.
Ly q(x) - ЛНДУ порядка n с
непрерывными коэффициентами.
1 ( x) , 2 ( x) , , n ( x) - ФСР ЛОДУ,
соответствующего данному ЛНДУ
C1 ( x),C2 ( x), , Cn ( x) такие, чт о
y ( x) C1 ( x) 1 ( x) Cn ( x) n ( x)
решениеЛНДУ
n
Ci i 0
i 1
n
C
i i 0
/
i 1
n
( n 1)
Ci i q ( x ) .
i 1

31. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Частный случай.
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка
y a1 y a0 y q( x)
Пусть 1 ( x), 2 ( x) - ФСР соответствующего ЛОДУ .
Тогда
C1 ( x) и C2 ( x) такие , что
С1 ( x) 1 ( x) С2 ( x) 2 ( x)
частное решение ЛНДУ
C1 1 C2 2 0
C1 1 C2 2 q( x)

32. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Пример.
x
y 2 y y
e
x
Решение.
x
y
e
, y2
1. ЛОДУ y 2 y y 0
ФСР 1
x
x
2. Общее решение ЛОДУ Y ( x) C1e C2 xe
3. Частное решение ЛНДУ
4. Найдем C ( x) и С ( x)
1
x
x
y( x) C1 ( x)e C2 ( x) xe
x
x
2
C1 e C2 xe 0
x
x
e
x
x
C1 e C2 (e xe )
x
x
xe
5. Общее решение ЛНДУ
C1 1
1
C
2 x
C1 x
C2 ln x
y ( x) xe ln x xe C1e C2 xe
x
x
x
x

33. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Уравнение колебаний.
Задача. Материальная точка массы m движется
под действием упругой силы пружины.
Найти закон движения.
Закон Гука: F by , b 0
Второй закон Ньютона: ma
Уравнение движения:
my by
F
o
F
m
y
Уравнение свободных колебаний.
b
y k y 0 , где k 0
m
2
A
2

34. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение:
r 2 k 2 0 r1,2 k i
ФСР: y1 cos kx , y 2 sin kx
Общее решение:
yoo C1 coskx C2 sin kx
Задача Коши.
y(0) yo , y (0) y1 y Acos(k t o )
Свободные колебания с амплитудой
и начальной фазой o arctg
k
b
m
A
y1
k yo
y12
y 2
k
2
o
- частота собственных колебаний

35. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Вынужденные колебания. Резонанс.
F1 A1 cos t - внешняя сила
- амплитуда, - частота внешней силы.
Уравнение вынужденных колебаний.
A1
my by A1 cos t
A1
b
2
y k y cos t , где k 0
m
m
2
y C cos(k t ) y
k
- отсутствие резонанса
y
A1
cos t
2
2
(k )
k - резонанс
y
A1 t
sin t
2 m