Метод интервалов. Общий метод интервалов

1.

«Метод интервалов.
Общий метод интервалов.»

2.

Определение
Неравенство, левая и правая части которого есть
рациональные выражения относительно x ,
называют рациональным неравенством с
неизвестным x .
(5x 1)(3 2x) 0
x2 x 6
2
3
x 1
x 5
4x - 6
>2
5-x
2x 3 7 x 0
2x 1 2 3 x
4
3
(x 2 1) 2 (3 2x)3 4 x 0

3.

Определение
Решением неравенства с неизвестным x называют
число, при подстановке которого в это неравенство
вместо x получается верное числовое неравенство.
Решить неравенство – значит найти все его
решения или показать, что их нет.

4.

Метод интервалов для решения
x x0 0
x x0 0
неравенств вида A(x) 0 и A(x) 0, где
A(x) (x xx1 )(x x2 )x 0... (x xn ),x
x1 x2 ... xn , n 1, n N.
Х
Метод интервалов для решения неравенств вида A(x) 0
и A(x) 0 основан на следующем утверждении.
Точка x 0 делит ось O x на две части:
1) для любого x , находящегося справа от точки
двучлен x x 0 положителен;
x0 ,
2) для любого x , находящегося слева от точки
двучлен x x 0 отрицателен.
x0 ,

5.

Пусть требуется решить неравенство
(x x1 )(x x 2 ) ... (x xn ) 0
Не нарушая общности, положим
(x x1 )(x x 2 )(x x 3 )(x x 4 ) 0
Тогда:
5).
Аналогично
рассуждая,
получим,
что
x,, находящегося
x 4x ,23 ии xx34
2).Для
Длялюбого
любогона
,O
находящегося
справа
от
xоси
3).
Для
любого
между
точками
4).
находящегося
между
точками
1).
Отметим
точки
нули
x
,
x
,
x
,
x
1
2
3
4
x
xотрицательны,
из
любой
двучлен
левой
части
положителен,
интервалов
(x x 1 )(x два
x 2левой
)(x xчасти
неравенства.
xв неравенства
) 0 дляотрицателен.
множителя
,последние
последний
множитель
в произведении
множителей
Они
делят
ось на
3 )(x
4произведении
аПоэтому
из(x
остальных
множителей
положителен,
поэтому
поэтому
x
)(x
x
)(x
x
)(x
x
)
x
;
x
;
x
,
,
,
x
;
x
;
(x
x
)(x
x
)(x
x
)(x
x
)x
(x
x
)(x
x
)(x
x
)(x
20
x 04,) 0
1
2
3
4
и
x
;
x
;
x
интервалы
xлюбой
;
,
,
3 2 4 1
4 1 1
2 3
31
3для
4
2
2
3
4
любого x ,
(x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )(x x 4 ) 0
для
любого
любого
x; xиз1 интервалов
.xx принадлежащего
. .
x 3 ; x x4 2 ;,интервалу
для
x1 ; x 2. . x x
;
x
для
, принадлежащего
4 ;3
x интервалу
4
принадлежащего
интервалу
3
+
+
+
x1
-
x2
x3
-
x4
x

6.

Замечание 1.
Сами числа x1 , x 2 , x 3 , x 4 не являются решением
неравенства (x x1 )(x x 2 )(x x 3 )(x x 4 ) 0 .
Замечание 2.
Множество решений неравенств вида A(x) 0 ,
и A(x) 0где , A(x) (x x1 )(x x2 ) ... (x xn ), ,
есть
множества всех решений
n 1,объединение
n N
неравенств
иA(x) 0 иA(x)
множества
всех
0
решений уравнения
.
A(x) 0

7.

Метод интервалов для решения неравенств вида
A(x) 0 , A(x) 0 , A(x) 0, A(x) 0 ,
где A(x) (x x1 )(x x 2 ) ... (x xn ) , x1 x 2 ... xn,
n 1, n N, то есть все xk различны.
1. Привести рациональное неравенство к одному из видов:
A(x) 0 , A(x) 0, A(x) 0 , A(x) 0, где
A(x) (x x1 )(x x2 ) ... (x xn ), n 1, n N .
2. Найти нули множителей, стоящих в левой части
неравенства, и расположить их на оси O x в
соответствующем порядке.

8.

Метод интервалов для решения неравенств вида
A(x) 0 , A(x) 0 , где A(x) (x x1 )(x x 2 ) ... (x x n ),
n 1, n N, x1 x 2 ... x n то есть все xk различны.
3. Над промежутком справа от наибольшего нуля многочлена
поставить знак «+», так как на этом промежутке все
множители положительны. Затем, двигаясь справа налево,
при переходе через очередной нуль, сменить знак на
противоположный.

9.

Пример1
Решить неравенство x 1 x 2 x 3 0 .
Решение
Нули множителей: x 1 , x 2 , x 3.
+
+
-
1
2
-
Х
3
Ответ: 1 x 2,
x 3.

10.

Пример2
Решить неравенство 2 x x 2 4x 3 x 1 0.
Решение
2 x x2 4x 3 x 1 0,
умножив неравенство на -1 и разложив
квадратный трёхчлен на множители, получим
неравенство равносильное данному
x 2 x 1 x 3 x 1 0.
Нули множителей: x 1 , x 1 , x 2 , x 3 .
+
-1
-
+
1
2
-
+
3
Х
Ответ: 1 x 1,
2 x 3.