Применение метода интервалов для решения неравенст. 9 класс

1.

Применение метода
интервалов для
решения неравенств
урок алгебры в 9 классе

2. Суть метода

Пусть функция задана формулой вида
f ( x) x x1 x x2 ... x xn
х переменная,
х1 , х2 ... хn не равные друг другу числа.
х1 , х2 ... хn нули функции.
у
+
+
х1
y f ( х)
х2
0
-
х
х3
В каждом промежутке знак функции сохраняется
При переходе через нуль знак функции меняется

3.

Функция
f (x )
Свойство непрерывной функции.
Функция f ( x) непрерывна на области
определения и имеет различные
нули. Нули функции разбивают
область определения на промежутки
знакопостоянства, при переходе
через нуль знак функции меняется.

4.

План применения метода интервалов
!
• Разложить многочлен на простые
множители;
• найти корни многочлена;
• изобразить их на числовой прямой;
• разбить числовую прямую на интервалы;
• определить знаки множителей на
интервалах знакопостоянства;
• выбрать промежутки нужного знака;
• записать ответ (с помощью скобок или
знаков неравенства).

5. Решить неравенство

х 2 х 5 х 4 0
х1 2, х2 5, х3 4
нули функции
f ( x) х 2 х 5 х 4 .
-
+?
-6
0
-5
+
-
2
3
4
5
(3)
40
ffх
f((0)
(5)
6)
622
2305
30
5
44
48 80
6 30
0355;
556
4;

6. Решить неравенство

х3 7 х 2 6 х 0
Решение.
х 7х 6х 0
3
2
х х2 7 х 6 0
х х 1 х 6 0
0
?
+
-
+
1
6
х1 0, х2 1, х3 6
нули функции
f ( x) х 3 7 х 2 6 х.
Ответ:
х ;0 1;6

7.

1

8.

5

9.

Решить неравенство
2
x
3x 4 x 0
x 2 3x 4 0
x 1 x 4 x 0
x 1 x 4 x 0 0
–
–
+
-1
0
D 9 16 25
3 5
x1
1
2
3 5
x2
4
2
+
4
x
Ответ: ( - 1; 0) (4;+ ∞ )

10.

Решить неравенство
х3 3х 2 х 3
х3 3х 2 х 3 0
х 3 х х 3
3
х 3 х 1 х 1 0
2
х2 х 3 х 3
х 3 х 1
2
х 3 х 1 х 1
+
+
–
-1
1 –
3
x
Ответ: (- ∞ ; - 1] [1;3]

11.

Метод интервалов
используется тогда и только
тогда, когда многочлен или
дробное выражение
сравниваются с нулем
Во вторую очередь,
раскладывают на
множители: многочлен или
числитель и знаменатель
дробного выражения

12.

Знак неравенства
«нестрогий»: на числовой
прямой корни многочлена
или числителя закрашенные кружки.
Корни знаменателя для
«строгих» и «нестрогих»
неравенств - «пустые»
кружки.
Надо штриховать
промежутки.
Штриховка
соответствует знаку
неравенства

13.

Проверь своё решение
Вариант 1.
Вариант 2.
№2. Найдите область определения функции:
y 6 x x2 3 3 2x 5
Решение.
y 2 7 x x 2 5 5 3x 4
Решение.
6 x x 0 1
7 x x 0 1
x 6x 0
x2 7 x 0
x ( x 6) 0
x ( x 7) 0
2
2
2
–
+
0
Ответ:
+
6
0; 6
–
+
x
0
Ответ:
0; 7
+
7
x

14.

Точки
знаменателя
всегда выколоты
Нули функции f(x): 7-x=0, x=7
2
7

15.

4
8,5

16.

Решить неравенство
Решение.
12 x x 2
0 1
x
x 2 x 12 0
x х 12
0
x
2
x 3 x 4 0
x
D 1 48 49
1 7
x1
3
2
1 7
x2
4
2
x 3 x 4 x 0
x 0
–
–
+
-3
0
+
4
Ответ: [-3;0) [4;+∞)
х

17.

Решим неравенство
x 5 x 2 x x 1 x 3 0.
6
3
2
1
5
Если в разложении многочлена на множители входит
k
сомножитель x x0 , то говорят, что - х0 корень
многочлена кратности k.
!
1) Данный многочлен имеет корни:
x = -5, кратности 6;
x = -2, кратности 3;
x = 1, кратности 2;
x = 3, кратности 5.
x = 0, кратности 1;
2) Нанесем эти корни на числовую ось.
–
Н
–
М
М
+
–
Н
–
М
+
3) Определим знак многочлена на каждом интервале.
4) Запишем ответ:
x 5
2;0 1 3; .
5) Рассмотрим смену знаков в корнях различной кратности.

18.

( x 2) 4 ( x 5)
0
3
(x 1)
Решить неравенство
Решение.
4
3
(x 2) (x 5)(x 1) 0
3
(x
1)
0
х 2
х 5
х 1
+
+
+
-2
1
–
5
Ответ: (1;5] {- 2}
х

19.

(3x 2) 5 ( x 5)
0
6
(x 3)
Решить неравенство
Решение.
5
2
3 x x 5
3
0
6
(x 3)
5
2
х
3
х 5
3
5
5
2
x
x 5
3
0
6
(x 3)
х 3
+
+
-5
–
–
- 3 - 2/3
х
Ответ: [- 5; - 3) (- 3;- 2/3]