Пересечение поверхности и плоскости. Сечение поверхностей 2-го порядка

1. Пересечение поверхности и плоскости. Сечение поверхностей 2-го порядка

Лекция 2
Пересечение поверхности и
плоскости. Сечение
поверхностей 2-го порядка
• Построение линий пересечения
поверхностей
• Способ вспомогательных секущих
плоскостей
Лектор: Стриганова Л.Ю.
1

2.

Пересечение поверхности и
плоскости
В результате сечения поверхности
плоскостью получается линия, которая
образует геометрическую фигуру
(окружность, эллипс, многоугольник и т.п.)
2

3. СЕЧЕНИЕ ГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

32 Ξ 42
12 Ξ 22
11
21
31
41
• Сечение гранной
поверхности –
многоугольник,
который строится по
точкам пересечения
секущей плоскости и
ребер многогранника
3

4. СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ВРАЩЕНИЯ

i2
aп2
12
1. abi – окружность
2. b^ i – эллипс
22
3. g ll i - прямоугольник
L2
bп2
i1
L1
gп1
11
21
4

5. СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ВРАЩЕНИЯ

Сечение цилиндра
22
52
42
эллипс b^ i
12
32
521
bп2
41 31 21
51
4
11
211
411
311
1
412 312 22
3
121
bп21
2
5
1
41
31
21
5

6. СЕЧЕНИЯ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ

gп2
aп2
L2
i2
1. abi – окружность
S2
2. b^ i – эллипс
3. g – треугольник
g проходит через вершину S
bп2
i1
L1
6

7. СЕЧЕНИЯ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ

4. m – гипербола
m ll I
5.h – парабола
h ll L
i2
hп2
S
L2
i1
mп1
L1
7

8. Сечение конуса вращения наклонной плоскостью эллипс

Rк
Rк
22
αп2
1122
22
42
3232
3311
41
1
112
2121
31111
3
411
8

9.

121
22
321 421
221
42
12
32
31
41
11
3
21
311
4
1
2
411
31
41
9

10. СЕЧЕНИЕ СФЕРЫ

Сечение сферы плоскостью – всегда
окружность, которая может проецироваться
как:
- прямая линия
- окружность
- эллипс
10

11. СЕЧЕНИЕ СФЕРЫ плоскостью

12
gп2
52
bп2
42
22
32
αп2
31
41
51
11
21
1
3
1
1
4
1
511
11

12.

ВЗАМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
12

13.

Линия пересечения поверхностей -
совокупность точек одновременно
принадлежащих двум
пересекающимся поверхностям
13

14. Характер линии пересечения зависит от вида поверхностей

• Линия пересечения многогранников ломаная линия
14

15.

Линия пересечения
многогранника и
поверхности вращения сочетание плоских
кривых линий
(парабола, гипербола,
эллипс и т.д.)
Линия пересечения двух
поверхностей второго
порядка пространственная
кривая
15

16.

Алгоритм решения задач на построение
линии пересечения поверхностей
1. Провести анализ заданных
поверхностей
- Определить характер заданных поверхностей
-
(цилиндр, призма, сфера, пирамида и т.д.)
Определить
какая
из
них
является
проецирующей поверхностью
На плоскости проекций, к которой поверхность
перпендикулярна, проекция линии пересечения
совпадает с очерком проецирующей поверхности
16

17.

2. Определить характерные (опорные)
точки линии пересечения
- точки пересечения очерков поверхностей
- высшие и низшие, правые и левые точки
поверхностей
- наиболее
удаленные
и
приближенные
к
плоскостям проекций точки
- точки
принадлежащие
очерковым
линиям
поверхностей
17

18.

3. Провести вспомогательную секущую плоскость
частного положения между опорными точками.
В сечении поверхностей должны получаться простые
геометрические фигуры – окружности, треугольники,
прямоугольники.
4. Построить сечения заданных поверхностей
вспомогательной секущей плоскостью.
Определить точки пересечения построенных
сечений.
5. Обозначить искомые точки линии пересечения
поверхностей.
Повторение пунктов 3,4,5 – n раз
18

19.

6. Соединить линией, полученные точки
пересечения. Сохранить
последовательность соединения точек,
как на проецирующей поверхности
7. Определить видимость линии
пересечения и очерковых линий
заданных поверхностей
8. Обвести изображение данных
поверхностей с учетом видимости
изображения оставляя линии построения
19

20.

Задача.
Построить линию
пересечения
заданных
поверхностей
способом
вспомогательных
секущих
плоскостей
20

21.

1. Провести анализ данных поверхностей
Пересекаются призма
и сфера.
Поверхность призмы
является
проецирующей на
горизонтальной
плоскости, поэтому
линия пересечения на
эту плоскость
проецируется в
простую
геометрическую
фигуру - треугольник
21

22.

32
42
72
12
52
62
22
02
Rc
21
11
01
31
п1
2. Определить
опорные точки.
На фигуре
треугольника это
крайние точки 1 и 2
Еще одна
характерная точка –
5 на вершине
41
61
71
bп1
Rc
Следующими
точками будут точки
на оси треугольника
п1
– это 3 и 4
3. Дополнительными
точками являются 6 и 7
22
51

23.

23

24.

Построить линию
пересечения
заданных
поверхностей
способом
вспомогательных
секущих
плоскостей
30
Задача.
24

25.

1. Провести анализ изображения
пересекающихся поверхностей
25

26.

Цилиндр является
фронтально
проецирующей
поверхностью, так как
все его образующие
фронтально
проецирующие
прямые
Линия пересечения
заданных
поверхностей на
фронтальной
плоскости совпадает
с очерком цилиндра
26

27.

12
Характерные точки
22
11
- точки пересечения
очерков точки 1 и 2
на горизонтальной
плоскости находятся
на оси конуса
21
27

28.

12
Характерные точки
- низшие точки
очерка цилиндра
12
9 и 10 лежат на
основании конуса
12
22
11
22
11
21
22
21
92Ξ102
91
12
22
11
21
11
21
101
28

29.

12
π2
52Ξ62
12
22
11
21
22
92Ξ102
91
12
22
11
21
11
• Характерные
точки
- крайние левые
точки очерка
цилиндра (точки
5 и 6), находятся
с помощью
вспомогательной
плоскости π2
21
101
29

30.

R5
В плоскости π2
фигура сечения конуса –
это окружность R5,
а фигура сечения
цилиндра по его оси –
прямоугольник
30

31.

R3
bп2
Промежуточные
точки
- 3 и 4 находятся с
помощью
дополнительной
секущей плоскости
bп2, которая
рассекает конус по
окружности R3, а
цилиндр по
прямоугольнику
На пересечении этих
фигур находятся
точки взаимного
пересечения
31

32.

Промежуточные
точки
R7
72 Ξ 82
81
71
п2
- 7 и 8 строятся
аналогично
предыдущим.
Проводят
вспомогательную
плоскость п2
Плоскость рассекает конус
по окружности R7, а
цилиндр по прямоугольнику
32

33.

Соединяют полученные
точки в последовательности,
как на проецирующей
поверхности конуса:
1,3,5,7,9,2,10,8,6,4,1
Обводят
изображение с
учетом видимости
33